Gibt es konstruiertes Berechnen?  

Für Lernende und Laien decken sich  Erfahrungswissen und das elementar, nur mit Kreis- und Gerade-Objekten konstruiertem Berechnungen. Heute helfen hier  besonders die  klassischen dynamoschen Konstruktionen mit dem Computer. Sie genügen  den uralten klassichen Auflagen, und nur mit Kreis- ( Zirkel ) und Gerade-Kurven  (strichlosesLineal) auszukommen. Es sind  Sequenzen von zusammenhängender Kreis- und Gerade-Objekten, die den betrachteten Rechenzusammenhang nachvollziehbar machen. Sie werden mit  dynamischen Zeichenprorammen (DGS-Softwareprogramme, beispielsweise Geogebra und andere), gezeichnet. Die  gezeichneten Kurven  sind  hierbei nur in Gedanken zusammenhängende Spurkurven. Real sind sie  immer nur endlich viele dicht benachbarte Punkte. Visuell und in gedanklicher Abstraktion werden diese nicht mehr als Punktekurve wahrgenommen, sondern als zusammenhängende Spurkurve = Strichkurve.  Bei konkreten Berechnungen und der reproduzierbaren Darstellung des Ergebnisses bestimmen  diese  besagten Punkte das Geschehen.
Über konstruierte  Zahlen = konstruierte Punkte
Wir können uns in der Ebene einen beliebig gegebenen Punkt vorstellen, der  Schnittpunkt zweier  orthogonaler Achsgeraden x und y ist. Weitere   davon ausgehende  "klassisch  konstruierte   Schnittpunkte"  werden in der Mathematik als "konstruierte Zahlen" verstanden.  Sie sind immer als Sequenz zusammenhängend gezeichneter Urkurven-Objekte von Kreis und Gerade   anschaulich nachvollziehbar. 
Das folgende Bild-Beispiel  zeigt, wie   eine    Folge von Punkten für die Rektifikation durch klassisches Konstruieren entsteht. Diese Konstruktion wird später noch mehrfach ausfühlicher beschrieben werden. Das Durchnummerieren der konstruierten Objekte macht das Nachverfolgen  der nacheinender konstruierten Objekte (Kurven und Schnittpunkte)  leichter.
Als ausgeführte Rechenoperationen kommen quasi nur die Ur-Operationen Doppeln und dessen Umkehrung das Halbieren (Anti-Doppeln) vor. Mit diesen Operartionen  wird eine   klassisch konstruierte Folge von Schnittpunkten konstruiert, die Endpunkte der immer mehr gerade gebogenen roten gleichlangen Kreisbögen  sind. Diese Bogenendpunkte sind Punkte einer Folge und  konvertieren   gut erkennbar einem Grenzpunkt auf der y-Achse zu, welcher einen Grenzabstand zum Nullpunkt  von der  exakten   Länge des Kreisumfangs hat. Alle Punkte dieser Folge werden in der Mathematik als „konstruierbare bzw. konstruierte  Zahlen“ verstanden. Es ist hier gut nachzuvollziehen, die Folge der Punkte ist endlos fortsetzbar. Die Änderung des Abstandes von Punkt zum  nächsten  Punkt  bzw. von Punkt zum Nullpunkt strebt dabei immer mehr der Grösse Null zu, ohne Null jemals zu erreichen.  
Für diese zuvor aufgezeigte, direkt wahrnehmbare  Grenzwertgrösse, die heute symbolisch mit 2π = Kreisumfang /Durchmesser beschrieben wird, gibt es keinen letzten Punkt und damit   keine abgeschlossene, vollständige   Ergebnis-Darstellung als diskrete Zahl. Eine  durch endlich viele  klassisch konstruierte Schritte erzeugte Darstellung  ist möglich, bleibt aber unvollständig. Die Forderung nach einer diskreten vollständigen Ergebnis-Darstellung (Zahl) einerseits und  der Sachverhalt einer  nicht endenden Punkte-Folge bzw. Schritte-Sequenz andererseits widersprechen sich.
Die Menge der konstruierbaren Punkte (konstruierbare Zahlen) füllt eine  unbegrenzte, aber auch die begrenzte Strecke, Kreisbogen bzw. Ebene niemals vollständig aus.  Vom Prinzip her bleiben immer Lücken zwischen den konstruierten Punkten (=Raster-Punkte), egal wieviele diskret benennbare Schritte für die konstruierten Punkte schon ausgeführt sind. 
 

Nichtkonstruierbare Zahlen = nichtkonstruierbare Punkte

"Kein  beliebig (zufällig) platzierter Punkt in der karthesischen Ebene  kann durch  eine  klassische Konstruktion   ohne Restfehler  ausgemessen oder erzeugt werden. Diese beliebig (zufällig) platzierten Punkte  sind somit als "nichtklassisch konstruierbare  Punkte"  bzw. als  "nichtklassisch konstruierbare  Zahlen" zu verstehen.
Es sind  prinzipielle  Gründe, wie zuvor schon aufgezeigt, warum das Winkeldrittel, die Quadratseite und die Würfelkante in ihrer vollständigen Grösse nicht als klassisch konstruierbarer Punkt bzw. nicht klassisch konstruierbare Zahl dargestellt werden können. Irreführend wird es  hier, wenn aus dem prinzipiellen  Sachverhalt der unvollständigen Ergebnis-Darstellung gefolgert wird, dass es hier für die Aufgabenlösungen keine exkaten  Sequenzen von Kreis- und Gerade-Objekten als exaktes  Lösungs-Kohärenzsystem   geben würde. Das obige Bild zeigt, dass dies  falsch und somit  irreführend ist. Diese mit "generellem unmöglich" nicht ausreichend beschriebene und erklärten   Lösungszusammenhänge  suggeriert  die Erwartung, für die drei klassichen Aufgaben der Antike  kann es  keine klassisch konstruierten exakten Lösungsprozesse geben, da die Kohärnezen dafür fehlen. Mit nur wenigen   Schritten  seien  keine unbeschränkt genauen  Ergebnissse mit nur  subatomare Abweichungen zu erreichen.
 
Die exakten Lösungsprozesse (Konstruktionsplan /Rechenplan zum Grenzprozess) können mit endlich vielen bekannten Konstruktionsschritten vollständig beschrieben werden. Wie obiges Bild zeigt, wird mit immer mehr betriebenem Aufwand  zu immer genaueren  Ergebnisdarstellungen gelangt, wozu auch die Nutzung der Kreiskurve als fortgesetzte Kohärenzkurve beiträgt, die durch die letzten drei konstruierten Punkte der betrachteten Folge geht.
                                           
                                 
 
 
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