Gibt es konstruiertes Berechnen?
Für Lernende und Laien decken sich Erfahrungswissen und das elementar, nur mit Kreis- und Gerade-Objekten konstruiertem Berechnungen. Heute helfen hier besonders die klassischen dynamoschen Konstruktionen mit dem Computer. Sie genügen den uralten klassichen Auflagen, und nur mit Kreis- ( Zirkel ) und Gerade-Kurven (strichlosesLineal) auszukommen. Es sind Sequenzen von zusammenhängender Kreis- und Gerade-Objekten, die den betrachteten Rechenzusammenhang nachvollziehbar machen. Sie werden mit dynamischen Zeichenprorammen (DGS-Softwareprogramme, beispielsweise Geogebra und andere), gezeichnet. Die gezeichneten Kurven sind hierbei nur in Gedanken zusammenhängende Spurkurven. Real sind sie immer nur endlich viele dicht benachbarte Punkte. Visuell und in gedanklicher Abstraktion werden diese nicht mehr als Punktekurve wahrgenommen, sondern als zusammenhängende Spurkurve = Strichkurve. Bei konkreten Berechnungen und der reproduzierbaren Darstellung des Ergebnisses bestimmen diese besagten Punkte das Geschehen.
Über konstruierte Zahlen = konstruierte Punkte
Wir können uns in der Ebene einen beliebig gegebenen Punkt vorstellen, der Schnittpunkt zweier orthogonaler Achsgeraden x und y ist. Weitere davon ausgehende "klassisch konstruierte Schnittpunkte" werden in der Mathematik als "konstruierte Zahlen" verstanden. Sie sind immer als Sequenz zusammenhängend gezeichneter Urkurven-Objekte von Kreis und Gerade anschaulich nachvollziehbar.
Das folgende Bild-Beispiel zeigt, wie eine Folge von Punkten für die Rektifikation durch klassisches Konstruieren entsteht. Diese Konstruktion wird später noch mehrfach ausfühlicher beschrieben werden. Das Durchnummerieren der konstruierten Objekte macht das Nachverfolgen der nacheinender konstruierten Objekte (Kurven und Schnittpunkte) leichter.
Als ausgeführte Rechenoperationen kommen quasi nur die Ur-Operationen Doppeln und dessen Umkehrung das Halbieren (Anti-Doppeln) vor. Mit diesen Operartionen wird eine klassisch konstruierte Folge von Schnittpunkten konstruiert, die Endpunkte der immer mehr gerade gebogenen roten gleichlangen Kreisbögen sind. Diese Bogenendpunkte sind Punkte einer Folge und konvertieren gut erkennbar einem Grenzpunkt auf der y-Achse zu, welcher einen Grenzabstand zum Nullpunkt von der exakten Länge des Kreisumfangs hat. Alle Punkte dieser Folge werden in der Mathematik als „konstruierbare bzw. konstruierte Zahlen“ verstanden. Es ist hier gut nachzuvollziehen, die Folge der Punkte ist endlos fortsetzbar. Die Änderung des Abstandes von Punkt zum nächsten Punkt bzw. von Punkt zum Nullpunkt strebt dabei immer mehr der Grösse Null zu, ohne Null jemals zu erreichen.
Für diese zuvor aufgezeigte, direkt wahrnehmbare Grenzwertgrösse, die heute symbolisch mit 2π = Kreisumfang /Durchmesser beschrieben wird, gibt es keinen letzten Punkt und damit keine abgeschlossene, vollständige Ergebnis-Darstellung als diskrete Zahl. Eine durch endlich viele klassisch konstruierte Schritte erzeugte Darstellung ist möglich, bleibt aber unvollständig. Die Forderung nach einer diskreten vollständigen Ergebnis-Darstellung (Zahl) einerseits und der Sachverhalt einer nicht endenden Punkte-Folge bzw. Schritte-Sequenz andererseits widersprechen sich.
Die Menge der konstruierbaren Punkte (konstruierbare Zahlen) füllt eine unbegrenzte, aber auch die begrenzte Strecke, Kreisbogen bzw. Ebene niemals vollständig aus. Vom Prinzip her bleiben immer Lücken zwischen den konstruierten Punkten (=Raster-Punkte), egal wieviele diskret benennbare Schritte für die konstruierten Punkte schon ausgeführt sind.
Nichtkonstruierbare Zahlen = nichtkonstruierbare Punkte
"Kein beliebig (zufällig) platzierter Punkt in der karthesischen Ebene kann durch eine klassische Konstruktion ohne Restfehler ausgemessen oder erzeugt werden. Diese beliebig (zufällig) platzierten Punkte sind somit als "nichtklassisch konstruierbare Punkte" bzw. als "nichtklassisch konstruierbare Zahlen" zu verstehen.
Es sind prinzipielle Gründe, wie zuvor schon aufgezeigt, warum das Winkeldrittel, die Quadratseite und die Würfelkante in ihrer vollständigen Grösse nicht als klassisch konstruierbarer Punkt bzw. nicht klassisch konstruierbare Zahl dargestellt werden können. Irreführend wird es hier, wenn aus dem prinzipiellen Sachverhalt der unvollständigen Ergebnis-Darstellung gefolgert wird, dass es hier für die Aufgabenlösungen keine exkaten Sequenzen von Kreis- und Gerade-Objekten als exaktes Lösungs-Kohärenzsystem geben würde. Das obige Bild zeigt, dass dies falsch und somit irreführend ist. Diese mit "generellem unmöglich" nicht ausreichend beschriebene und erklärten Lösungszusammenhänge suggeriert die Erwartung, für die drei klassichen Aufgaben der Antike kann es keine klassisch konstruierten exakten Lösungsprozesse geben, da die Kohärnezen dafür fehlen. Mit nur wenigen Schritten seien keine unbeschränkt genauen Ergebnissse mit nur subatomare Abweichungen zu erreichen.
Die exakten Lösungsprozesse (Konstruktionsplan /Rechenplan zum Grenzprozess) können mit endlich vielen bekannten Konstruktionsschritten vollständig beschrieben werden. Wie obiges Bild zeigt, wird mit immer mehr betriebenem Aufwand zu immer genaueren Ergebnisdarstellungen gelangt, wozu auch die Nutzung der Kreiskurve als fortgesetzte Kohärenzkurve beiträgt, die durch die letzten drei konstruierten Punkte der betrachteten Folge geht.
