Über konstruiertes Berechnen 

Für Lernende und Laien decken sich  ihr Erfahrungswissen mit elementar, nur mit Kreis- und Gerade-Objekten konstruiertem Berechnen. Heute helfen hier  besonders die  klassischen dynamischen Konstruktionen mit dem Computer. Sie genügen  den uralten klassichen Beschränkungen nur mit Kreis- ( Zirkel ) und Gerade-Kurvenobjekten  (strichloses Lineal) auszukommen. Die  Sequenzen von elementar zusammenhängenden Kreis- und Gerade-Objekten machen Rechenzusammenhänge anschaulich nachvollziehbar. Dabei helfen nun  auch dynamische Zeichenproramme  (DGS-Softwareprogramme, beispielsweise Geogebra und andere). Auch wenn die gezeichneten Kurven  als zusammenhängende Spurkurven zu sehen sind, werden sie doch immer als Punktekurven berechnet und dargestellt. Sie sind immer nur endlich viele dicht benachbarte Punkte. Sie werden visuell und in gedanklicher Abstraktion  nicht mehr als Punktekurve wahrgenommen, sondern als zusammenhängende Spurkurve = Strichkurve.  Bei konkreten Berechnungen und reproduzierbaren Darstellungen des Ergebnisses bestimmen  diese  besagten Punkte das Geschehen.
Über konstruierte  Zahlen = konstruierte Punkte
Wir können uns in der Ebene einen beliebig gegebenen Punkt vorstellen, der  Schnittpunkt zweier  orthogonaler Achsgeraden x und y ist. Weitere   davon ausgehende  "klassisch  konstruierte   Schnittpunkte"  werden in der Mathematik als "konstruierte Zahlen" verstanden.  Sie werden   immer in endlichen Schritten als Sequenz zusammenhängend gezeichneter Urkurven-Objekte von Kreis und Gerade   erzeugt und sind so anschaulich nachvollziehbar. Welche Punkte elementaren Kurven können unter dieser Beschränkung konstruiert werden, wenn zwei beliebig gegeben Kurvenpunkte A und B  in der Ebene gegeben sind? Oder anders ausgedrückt, zu welchen elementaren Kurven, die durch   zwei gegebne Punkte A und B in der Ebene gehen, können weiter Kurvenpunkte klassisch konstruiert (konstruiert berechnet) gefunden werden? Gibt es für einen weiteren Punkt eine passende Sequenz an Schritt-Aktionen, die dann  für weitere Punkte-Erzeugungen  immer wieder angewendet werden kann? Wenn ja, dann sind  die Punkte der konkret betrachteten Kurve elementargeometrisch  berechenbar.
Die alltäglichen Erfahrung lehrt uns, das "Gerade durch zwei Punkte finden" ist elemetar konstruiert berechenbar. Beim "Parabel durch zwei Punkte finden hilft die alltägliche Erfahrung zunächst nicht viel weiter. Die Suche zu diesem 2-Punkteproblem für  Kegelschnittkurven liefert keine relevanten  Treffer. Wie später noch gezeigt wird, sind  aber für die Parabel auch elementargeometrische Aufgabenlösungen  möglich.
Klassisch konstruierte Grenzprozesse für Grenzpunkte 
Wir beginnen mit einem  Bild-Beispiel   zu einem  wesentlichen  klassisch konstruierten Grenzprozeß, dessen erzeugte   Folge von Punkten einem besonderen Grenzpunkt zustrebt. Dieser gibt das Geradenlängen-Ende  des gestreckten Kreisbogens an.   Das Durchnummerieren der konstruierten Objekte erleichtert  das Nachverfolgen  der nacheinender konstruierten Objekte (Kurven und Schnittpunkte).
Später wird diese Konstruktion  noch mehrfach ausfühlich beschrieben werden. Hier kommen als ausgeführte Rechenoperationen nur die Ur-Operationen Doppeln und dessen Umkehrung das Halbieren (Anti-Doppeln) vor. Mit diesen Operartionen  wird die  klassisch konstruierte Folge von Schnittpunkten konstruiert. welche die Endpunkte der immer mehr gerade gebogenen roten gleichlangen Kreisbögen  sind. Diese Endpunkte der Bogen sind Punkte einer Folge. Gut erkennbar komvergieren diese einem Grenzpunkt auf der y-Achse zu, der  als Grenzabstand zum Streckenanfang auf der X-Achse die  Länge des gestreckten Kreisbogens = Kreisumfang  markiert. Alle Punkte dieser Folge werden in der Mathematik als „konstruierbare bzw. konstruierte  Zahlen“ verstanden. Hingegen,   der Grenzpunkt selbst aber nicht. Bei diesem Beispiel  ist gut nachzuvollziehen, die Folge der Punkte ist endlos fortsetzbar. Die Änderung des Abstandes von Punkt zum  nächsten  Punkt  strebt dabei immer mehr der Grösse Null zu, ohne Null jemals zu erreichen.  
Für die direkt wahrnehmbare, nachvollziehbare Grenzwertgrösse, die heute symbolisch mit 2π = Kreisumfang /Durchmesser beschrieben wird, gibt es keinen darstellbaren letzten Punkt und damit   keine abgeschlossene, vollständige   Ergebnis-Darstellung als diskrete Zahl. Trotzdem sind    mit endlich viel  klassisch konstruierten Schritten erzeugte Darstellungen  möglich, welche den praktischen Anforderungen angepasst werden können und genügen.
Die Menge der konstruierbaren Punkte (konstruierbare Zahlen) füllt eine begrenzte aber auch die  unbegrenzte Strecke, Kreisbogen bzw. Ebene niemals vollständig aus.  Vom Prinzip her bleiben immer Lücken zwischen den konstruierten Punkten (=Raster-Punkte), egal wieviele diskret benennbare Schritte für die konstruierten Punkte schon ausgeführt sind. 
Die Forderung nach einer diskreten vollständigen Ergebnis-Darstellung (Zahl) einerseits und  der Sachverhalt einer  nicht endenden Punkte-Folge bzw. Schritte-Sequenz eine Grenzprozesses andererseits widersprechen sich.
 "Keine zwei  beliebig (zufällig) platzierter Punkte im R^2 -Raum (Ebene)  können durch  eine  klassische Konstruktion   ohne Restfehler  ausgemessen werden."
Es sind  prinzipielle  Gründe, wie zuvor schon aufgezeigt, warum das Winkeldrittel, die Quadratseite und die Würfelkante in ihrer vollständigen Grösse nicht als klassisch konstruierbarer Punkt bzw. nicht klassisch konstruierbare Zahl dargestellt werden können. Irreführend wird es  hier, wenn aus dem prinzipiellen  Sachverhalt der unvollständigen Ergebnis-Darstellung gefolgert wird, dass es hier für die Aufgabenlösungen keine exkaten  Sequenzen von Kreis- und Gerade-Objekten als exaktes  Lösungs-Kohärenzsystem   geben würde. Das obige Bild zeigt, dass dies  falsch und somit  irreführend ist. Diese mit "generellem unmöglich" nicht ausreichend beschriebenen     Lösungszusammenhänge  suggeriert  die Erwartung, für die drei klassichen Aufgaben der Antike  kann es  keine klassisch konstruierten exakten Lösungsprozesse geben. Die nur elementargeometrischen  Kohärzen reichen nicht aus.   Die exakten Pläne der unbeschränkt genauen  Berechnungsprozesse seien mit nur wenigen   Schritten   nicht beschreibbar. So sei mit nur endlich viel ausgeführten Schritten  zu keinen praktikablen Ergebnis-Abweichungen im subatomare Bereich zu gelangen.  
Wir zeigen hier, die exakten Lösungsprozesse (Konstruktionsplan /Rechenplan zum Grenzprozess) können mit endlich vielen bekannten Konstruktionsschritten vollständig beschrieben werden. Wie obiges Bild zeigt, wird mit immer mehr betriebenem Aufwand  zu immer genaueren  Ergebnisdarstellungen gelangt. Weitere Verbesserung bringt auch die Nutzung der Kreiskurve als fortgesetzte Kohärenzkurve. Sie wird  durch die letzten drei konstruierten Punkte der konstruierten Punkte- Folge gelegt und schneidet die Y-Achse. Dieser Schttpunkt ist dem theoretischen Grenzpunkt deutlich näher als der letzte Punkt der Folge.

 

                                           
                                 
 
 
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