Klassisch konstruierte Grenzprozesse
Für Lernende und Laien decken sich  die elementar, nur mit Kreis- und Gerade-Objekten konstruiertem Berechnungen mit ihrem  Erfahrungswissen. Heute helfen hier  besonders die  klassischen Konstruktionen mit dem Computer. . Es wird   quasi nur mit einem Zirkel und und einem strichlosen Lineal gearbeitet. Es sind die konstruierten Sequenzen von Kreis- und Gerade-Objekten, die den betrachteten Rechenzusammenhang ausgehend vom Raumzusammenhnag nachvollziehbar machen. Heute werden diese Sequenzen mit  dynamischen Zeichenprorammen (DGS-Softwareprogramme, beispielsweise Geogebra und andere), gezeichnet. Die so gezeichneten Kurven  sind  nur in Gedanken zusammenhängende Spurkurven. Real sind sie  immer nur endlich viele dicht benachbarte Punkte. Visuell und in gedanklicher Abstraktion werden diese nicht mehr als Punktekurve wahrgenommen, sondern als zusammenhängende Spurkurve = Strichkurve.  
Über konstruierte  Zahlen = konstruierte Punkte
Wir können uns in der Ebene einen beliebig gegebenen Punkt vorstellen, der  Schnittpunkt zweier  orthogonaler Achsgeraden x und y ist. Weitere   davon ausgehende  "klassisch  konstruierte   Schnittpunkte"  werden in der Mathematik als "konstruierte Zahlen" verstanden.  Sie sind  als Sequenz zusammenhängend gezeichneter Urkurven-Objekte von Kreis und Gerade   anschaulich nachvollziehbar. 
Das folgende Bild-Beispiel  zeigt, wie   eine    Folge von Punkten für die Rektifikation durch klassisches Konstruieren entsteht. Diese Konstruktion wird später noch mehrfach ausfühlicher beschrieben werden. Das Durchnummerieren der konstruierten Objekte macht das Nachverfolgen  der nacheiender konstruierten Objekte (Kurven und Schnittpunkte)  leichter.
Als ausgeführte Rechenoperationen kommen quasi nur die Ur-Operationen Doppeln und dessen Umkehrung das Halbieren (Anti-Doppeln) vor. Mit diesen Operartionen  wird eine   klassisch konstruierte Folge von Schnittpunkten konstruiert, die Endpunkte der immer mehr gerade gebogenen roten gleichlangen Kreisbögen  sind. Diese Bogenendpunkte konvertieren   gut erkennbar einem Grenzpunkt auf der y-Achse zu, der einen Grenzabstand zum Nullpunkt  von der  exakten   Länge des Kreisumfangs hat. Alle Punkte dieser Folge werden in der Mathematik als „konstruierbare bzw. konstruierte  Zahlen“ verstanden. Es ist hier leicht einzusehen, die Folge der Punkte ist endlos fortsetzbar. Die Änderung des Abstandes von Punkt zum  nächsten  Punkt  bzw. von Punkt zum Nullpunkt strebt dabei immer mehr der Grösse Null zu, ohne Null jemals zu erreichen.  
Für diese direkt wahrnehmbare  Grenzwertgrösse, die heute symbolisch mit 2π = Kreisumfang /Durchmesser beschrieben wird, gibt es keinen letzten Punkt und damit   keine abgeschlossene  Ergebnis-Darstellung als diskrete Zahl, die durch endlich viele  klassisch konstruierte Schritte erzeugt und dargestellt werden kann. Die Forderung nach einer diskreten Ergebnis-Darstellung (Zahl) einerseits und andererseits der Sachverhalt einer  nicht endenden Punkte-Folge bzw. Schritte-Sequenz  sind zueinander widersprüchlich.
Die Menge der konstruierbaren Punkte (konstruierbare Zahlen) füllt die unbegrenzte, aber auch die begrenzte Ebene niemals vollständig aus.  Vom Prinzip her bleiben immer Lücken zwischen den konstruierten Punkten (=Raster-Punkte), egal wieviele diskret benennbare Schritte für die konstruierten Punkte schon ausgeführt sind. 
 

Über nichtkonstruierbare Zahlen = nichtkonstruierbare Punkte

"Kein  beliebig (zufällig) platzierter Punkt in der karthesischen Ebene  kann durch  eine  klassische Konstruktion   ohne Restfehler erzeugt oder ausgemessen werden. Diese beliebig (zufällig) platzierten Punkte  sind somit als "nichtklassisch konstruierbare  Punkte"  bzw. als  "nichtklassisch konstruierbare  Zahlen" zu verstehen.
Es sind, wie zuvor aufgezeigt,   prinzipielle  Gründe, warum   das Winkeldrittel, die Quadratseite und die Würfelkante in ihrer vollständigen Grösse nicht als klassisch konstruierbarer Punkt bzw. nicht klassisch konstruierbare Zahl dargestellt werden können. Irreführend wird es  hier allerdings, wenn aus diesem prinzipiellen  Sachverhalt der unvollständigen Ergebnis-Darstellung gefolgert wird, dass es hier für die Aufgabenlösungen keine exkaten  Sequenzenvon Kreis und Gerade ( Zusamenhänge) zur exakten Ergebniserzeugung geben würde. Das obige Bild zeigt, dies ist falsch und   irreführend. "Unmöglich"  suggeriert die Erwartung, für die betrachteten drei klassichen Aufgaben der Antike  würde  es keine klassisch konstruierten exakten Lösungsprozesse geben können, deren Lösungszusammenhänge mit endlich vielen Konstruktionsschritten vollständig beschrieben werden können. Wie obiges Bild zeigt, kann mit immer mehr Aufwand  zu immer genaueren  Ergebnisdarstellungen gelangt werden.
                                            
Phönomen - Grenzprozess  
a) Klassisch konstruierte Grenzprozesse 
Sie sind klassisch konstruierter Folgen von Schnittpunkten, die  einem geometrischen/r Grenzpunkt /-wert /-lage von Abständen, Drehungen und Translationen zustreben. Das folgende Bildbeispiel 
 
zeigt meinen erfundenen, klassisch, mit einer Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten gezeichneten Grenzprozess. Sein Grenzpunkt markiert das exakte Winkeldrittel im Gesamtsystem der Winkelkohärenzen. Es handelt sich hier um einem autokonvergenten Grenzprozess, bei dem im Prozessverlauf keine prozessbeeinflussenden Entscheidungen getroffen werden müssen. Ein besonderer klassisch konstruierter Grenzprozess ist der, mit dem  das exakte Berechnen des Kreisverhältnisses   π  =Kreisumfang /Kreisdurchmesser möglich wird. Diese Art von klassisch konstruierten Grenzprozessen mit geometrischen Rechengrössen fehlen im Lehrgebäude der Mathematik. Sie fehlen bereits im berühmten Sammelwerk ELEMENTE, das einst der berühmte Euklid (ca 330 v.u.Z.) zusammenstellte und heraus gab. Die Vorbildwirkung der ELEMENTE führte hier zu einer gewissen Betrachtungsblockade, Diese wirkt bis heute nach. Eine Suche in der Internet-Enzyklopädie Wikipedia liefert somit für „klassisch konstruierte Grenzprozesse“ keine Treffer. 
 
b) Grenzprozesse mit Zahlen als Rechengrössen
Hier sind   die Rechengrössen, das sind endlos viele  Zahlen,   mit elementaren Rechenoperatoren verknüpft. Bei den unendlichen Reihen dominieren die Operatoren „Plus“ und „Minus“. Bei den unendlichen Produkten sind es die Operatoren   „Multiplikation und „Division“.
 
Heute werden beim Recherchieren nach    Grenzprozessen und ihren Grenzwerten  nur solche gefunden, deren  Zusammenhänge   Funktionen und Zahlen betreffen. Wir wissen bereits, der berühmte Euklid (ca 330 v.u.Z.) hat endlose Prozesse nicht in sein richtungsweisendes Grundlagenwerk ELEMENTE aufgenommen, obwohl seit  Antiphon und Dinostratos (beide 5.Jh.v.u.Z.) schon Wissen zu endlosen Rechenprozessen bekannt war.  Für gezeichnete Cohaerentic Kalkulationen  werden wir nun abweichend zur euklidischen Tradition auch endlose, elementar mit Kreis- und Gerade- Objekten  konstruierte  Berechnungsprozesse  betrachten. Mit dem anderen Paradigma der Cohaerentic  wird  über die euklidischen Konstruktionen hinaus gegangen, wie sie aus den Konstruktionen in den ELEMENTEN gefolgert werden können. 
Beim nächsten Bild wird quasi mit zwei simultan gezeichneten Grenzprozessen, die gesamte Kreisumfangkurve (rot und schwarz) gerade gestreckt. Anhand eines späteren Videos wird es  gut nachvollziehbar, dass die gestreckte Länge des Kreisumfangs als Summe von rot und schwarz immer gleich gross ist, unabhängig von der Drehposition der roten Radiusstrecke im Kreis.
 
Dabei wird  mit immer mehr ausgeführten Schritte-Zyklen (Durchmesser verdoppeln und Winkel halbieren) einem  Ergebnis als Grenzwert zugestrebt, ohne diesen  jemals endgültig zu erreichen. Wir erkennen an diesem Beispiel, Grenzprozesse  gibt es nicht nur für  Lösungsberechnungen auf arithmetisch-algebraischer Grundlage sondern auch auf der Grundlage erfahrbarer kontinuierlicher räumlischer Kohärenz.
Im mathematischen Sinne verstehn wir eine Folge nun nicht nur als eine Aufzählung von Zahlen, sondern auch ein aufeinander folgendes Erzeugen von Punkten (Schnittpunkten), die als Punktekurve einen Grenzpunkt mit einem Grenzabstand zustreben und so die Merkmale für einen Grenzprozess erfüllen, der als klassisch Konstruktion ausgeführt wird.
 
Anhand der beiden obigen letzten Bild-Beispiele stellt sich die Frage, ob  das dazu heute  Gelehrte noch voll zutrifft? Bei Wikipedia steht unter dem Suchbegriff "Konstruktionen mit Zirkel und Lineal"/ "Unmögliche Konstruktionen" geschrieben, 
"Viele geometrische Figuren können nicht allein mit Zirkel und Lineal exakt konstruiert werden" wozu auch die "Quadratur des Kreises "  zählt.
Die obigen beiden Bilder stehen in einem gewissen Widerspruch zu dieser allgemein akzeptierten Einsicht. Diese Bilder  demonstrieren ein klassich   konstruiertes Geradebiegen des  Kreisbogens bei gleicher Länge. Dieses Wissen ist eine Vorassetzung, um die Quadratur des  Kreises   als dynamische   klassische Konstrktion ausführen zu können.  Das Geradebiegen wird mit  einem exaktem   klassisch konstruiertem Grenzprozess ausgeführt und mit einer Sequenz zusammenhängend gezeichneter Kreis - und Gerade-Objekte realisert. Hier handelt es sich um einen exakten klassischen Konstruktionsprozess bei dem das erzeugte Ergebnis "Kreisbogenlänge" der erwarteten Grenzwert-Grössse  mit mehr aufgewendeten Schritten immer mehr zustrebt. Die Schritt um Schritt fortschreitende exakte Konstruktion ist tatsächlich sinnfällig  nachvollziehbar. "Unmöglich" ist hingegen, eine vollständige Darstellung der zusammengesetzten Ergebnisgrösse, wie sie bei den  notwendigen endlosen Grenzprozesses vom Prinzip her auftreten.
 Für folgende Uraufgaben sind  gezeichnete Grenzprozesse für die gezeichneten Lösungsberechnungen erforderlich
 - Abroll-Länge vom Kreis, 
- Länge des gerade gestreckte Kreisbogen (Rektifikation), 

 - ganze Kreisfläche und ihre Teile (Tortenstücke, Kreissehnenabschnitt)

 - Winkeldrittelung, Winkelsiebentelung

 - Verhältnis-Transformation   Strecke<->Kreisbogen 

Mit immer mehr ausgeführten Rechenschritten, sprich gezeichneten Objekten, kann dabei die Genauigkeit der Ergebnis-Darstellung verbessert werden, indem sie  immer weiter vervollständigt wird. Dieses Vorgehen ist theoretisch ohne Ende fortsetzbar. Von besonderem Interesse sind deshalb solche klassich konstruierte  Grenzprozesse, die durch   eine verbesserte  Konvergenz-Eigenschaft eine gewählte Ergebnis-Genauigkeit schon mit kürzeren Rechengängen erreichen.

 

Überlieferungen  zu klassich konstruierten Grenzprozessen

Die Suche in Lexika und auch im Internet nach klassich konstruierten Grenzprozessen liefert kein direktes Ergebnis.  Hingegen gibt es viele Treffer für Grenzprozesse mit Zahlen als Rechengrössen. Etwas näher dran ist da  ein Annähern der Kreisfläche mit Grenzprozessen (https://home.ph-freiburg.de/deisslerfr/geometrie_II/sicher_geoII_06_07/Kapitel_2_06-07.pdf). Hierbei kann aber von einem klassich konstruiertem Grenzprozess keine Rede sein. Insbesondere wird da keine gezeichnete  Ergebnisgrösse als  Strecke erzeugt, die zweifelsfrei das Verhältnis π bildlich abbildet (π=gestreckter Kreisumfang /Kreisdurchmesser  = Kreisfläche / Quadratfläche über dem Radius). Dabei wird sich für das Berechnen der   Kreiszahl πnum      im Rahmen des bekannten  und heute gelehrten Wissens bewegt. 

Das elementar gezeichnete Kalkulieren  mit einem konvergentem  Grenzprozess, der einem Grenzwert zustrebt,  ist wie eingangs schon angesprochen, vom Prinzipiellem her mindestens seit dem griechischen Sophisten Antiphon (5.Jh.v.u.Z.) angedacht.   Man erkannte, das gezeichnet berechnete  Verhältnis πgeo und sein abgeleitetes  πnum   sind    zwar exakt  berechenbare, aber nur unvollständig zusammensetzbare  Ergebnisgrössen. 

Mit der veränderten Sichtweise für die Cohaerentic-Kalkulationen  wird der klassich konstruierte  Grenzprozess des Antiphon als ein  elementares exaktes Berechnen der Kreisfläche verstanden. Hierzu gibt es keine Alternative eines  noch elementareren  Berechnens. Die Ergebnisdarstellung als Rechteckfläche bildet den Grenzwert Kreisfläche   mit immer mehr  Aufwand beim Berechnen immer genauer ab. Die Genauigkeit der Ergebnisdarstellung ist an den Umfang der hierfür  geleisteten Schritte gebunden.

Seit Alters her bis heute ist aus esoterischen, religiösen und noch anderen Erwartungen heraus das Interesse an  diskret darstellbaren  Zahlen grösser als an den zwischenliegenden, nicht diskret als Zahl dastellbaren Positionen. Eine solche zwischenliegende, nicht endgültig diskret darstellbare Rechengrösse ist auch die Verhältnisgrösse  π=Kreisumfang/Durchmesser. 

Für Hilbert (1864-1943) waren Berechnungen mit klassich konstruierten Grenzprozessen offenbar ein Problemfeld  von geringer Bedeutung. Daher hat auch er, wie Euklid,  sie  nicht in sein grundlegendes Werke "Grundlagen der Geometrie"  aufgenommen.  Klassich gezeichnete Grenzprozesse haben bis heute in der Mathematik keine hohe  Bedeutng erlangt. Es fehlt das breite Interesse daran, was fehlende Beiträge  in Lehrbüchern, und heute auch im Internet, belegen.

Mit den gezeichneten Cohaerentic Kalkulationen rücken nun auch Uraufgaben des Berechnen in den Blickpunkt des Interesses, deren Lösungen  klassich konstruierte  Grenzprozesse erfordern.

 

 

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