Cohaerentic - Konstruierte Grenzprozesse

Mit Kreis- und Gerade-Objekten konsruierte Grenzprozesse

Für Lernende und Laien decken sich die elementar, nur mit Kreis- und Gerade-Objekten konstruiertem Berechnungen mit ihrem Erfahrungswissen. Heute helfen hier besonders die klassischen Konstruktionen mit dem Computer, die im übertragenen Sinn den uralten Auflagen genügen. Es wird quasi nur mit einem Zirkel und und einem strichlosen Lineal auszgekommen. Es sind konstruierte Sequenzen von Kreis- und Gerade-Objekten, die den betrachteten Rechenzusammenhang nachvollziehbar machen. Sie werden mit dynamischen Zeichenprorammen (DGS-Softwareprogramme, beispielsweise Geogebra und andere), gezeichnet. Die so gezeichneten Kurven sind nur in Gedanken zusammenhängende Spurkurven. Real sind sie immer nur endlich viele dicht benachbarte Punkte. Visuell und in gedanklicher Abstraktion werden diese nicht mehr als Punktekurve wahrgenommen, sondern als zusammenhängende Spurkurve = Strichkurve. Bei konkreten Berechnungen und der reproduzierbaren Darstellung des Ergebnisses bestimmen diese besagten Punkte das Geschehen.

Über konstruierte Zahlen = konstruierte Punkte

Wir können uns in der Ebene einen beliebig gegebenen Punkt vorstellen, der Schnittpunkt zweier orthogonaler Achsgeraden x und y ist. Weitere davon ausgehend "klassisch konstruierte Schnittpunkte" werden in der Mathematik als "konstruierte Zahlen" verstanden. Sie sind immer als Sequenz zusammenhängend gezeichneter Urkurven-Objekte von Kreis und Gerade anschaulich nachvollziehbar.

Das folgende Bild-Beispiel zeigt, wie eine Folge von Punkten für die Rektifikation durch klassisches Konstruieren entsteht. Diese Konstruktion wird später noch mehrfach ausfühlicher beschrieben werden. Das Durchnummerieren der konstruierten Objekte macht das Nachverfolgen der nacheiender konstruierten Objekte (Kurven und Schnittpunkte) leichter.

Als ausgeführte Rechenoperationen kommen quasi nur die Ur-Operationen Doppeln und dessen Umkehrung das Halbieren (Anti-Doppeln) vor. Mit diesen Operartionen wird eine klassisch konstruierte Folge von Schnittpunkten konstruiert, die Endpunkte der immer mehr gerade gebogenen roten gleichlangen Kreisbögen sind. Diese Bogenendpunkte konvertieren gut erkennbar einem Grenzpunkt auf der y-Achse zu, der einen Grenzabstand zum Nullpunkt von der exakten Länge des Kreisumfangs hat. Alle Punkte dieser Folge werden in der Mathematik als „konstruierbare bzw. konstruierte Zahlen“ verstanden. Es ist hier leicht einzusehen, die Folge der Punkte ist endlos fortsetzbar. Die Änderung des Abstandes von Punkt zum nächsten Punkt bzw. von Punkt zum Nullpunkt strebt dabei immer mehr der Grösse Null zu, ohne Null jemals zu erreichen.

Für diese direkt wahrnehmbare Grenzwertgrösse, die heute symbolisch mit 2π = Kreisumfang /Durchmesser beschrieben wird, gibt es keinen letzten Punkt und damit keine abgeschlossene Ergebnis-Darstellung als diskrete Zahl, die durch endlich viele klassisch konstruierte Schritte erzeugt und dargestellt werden kann. Die Forderung nach einer diskreten Ergebnis-Darstellung (Zahl) einerseits und andererseits der Sachverhalt einer nicht endenden Punkte-Folge bzw. Schritte-Sequenz sind zueinander widersprüchlich.

Die Menge der konstruierbaren Punkte (konstruierbare Zahlen) füllt die unbegrenzte, aber auch die begrenzte Ebene niemals vollsständig aus. Vom Prinzip her bleiben immer Lücken zwischen den konstruierten Punkten (=Raster-Punkte), egal wieviele diskret benennbare Schritte für die konstruierten Punkte schon ausgeführt sind.

Über nichtkonstruierbare Zahlen = nichtkonstruierbare Punkte

"Kein beliebig (zufällig) platzierter Punkt in der karthesischen Ebene kann durch eine klassische Konstruktion ohne Restfehler erzeugt oder ausgemessen werden. Diese beliebig (zufällig) platzierten Punkte sind somit als "nichtklassisch konstruierbare Punkte" bzw. als "nichtklassisch konstruierbare Zahlen" zu verstehen.

Es sind, wie zuvor aufgezeigt, prinzipielle Gründe, warum das Winkeldrittel, die Quadratseite und die Würfelkante in ihrer vollständigen Grösse nicht als klassisch konstruierbarer Punkt bzw. nicht klassisch konstruierbare Zahl dargestellt werden können. Irreführend wird es hier allerdings, wenn aus diesem prinzipiellen Sachverhalt der unvollständigen Ergebnis-Darstellung gefolgert wird, dass es hier für die Aufgabenlösungen keine exkaten Sequenzenvon Kreis und Gerade ( Zusamenhänge) zur exakten Ergebniserzeugung geben würde. Das obige Bild zeigt, dies ist falsch und irreführend. "Unmöglich" suggeriert die Erwartung, für die betrachteten drei klassichen Aufgaben der Antike würde es keine klassisch konstruierten exakten Lösungsprozesse geben können, deren Lösungszusammenhänge mit endlich vielen Konstruktionsschritten vollständig beschrieben werden können. Wie obiges Bild zeigt, kann mit immer mehr Aufwand zu immer genaueren Ergebnisdarstellungen gelangt werden.

Phönomen - Grenzprozess

a) Klassisch konstruierte Grenzprozesse

Sie sind klassisch konstruierter Folgen von Schnittpunkten, die einem geometrischen/r Grenzpunkt /-wert /-lage von Abständen, Drehungen und Translationen zustreben. Das folgende Bildbeispiel

zeigt meinen erfundenen, klassisch, mit einer Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten gezeichneten Grenzprozess. Sein Grenzpunkt markiert das exakte Winkeldrittel im Gesamtsystem der Winkelkohärenzen. Es handelt sich hier um einem autokonvergenten Grenzprozess, bei dem im Prozessverlauf keine prozessbeeinflussenden Entscheidungen getroffen werden müssen. Ein besonderer klassisch konstruierter Grenzprozess ist der, mit dem das exakte Berechnen des Kreisverhältnisses π =Kreisumfang /Kreisdurchmesser möglich wird. Diese Art von klassisch konstruierten Grenzprozessen mit geometrischen Rechengrössen fehlen im Lehrgebäude der Mathematik. Sie fehlen bereits im berühmten Sammelwerk ELEMENTE, das einst der berühmte Euklid (ca 330 v.u.Z.) zusammenstellte und heraus gab. Die Vorbildwirkung der ELEMENTE führte hier zu einer gewissen Betrachtungsblockade, Diese wirkt bis heute nach. Eine Suche in der Internet-Enzyklopädie Wikipedia liefert somit für „klassisch konstruierte Grenzprozesse“ keine Treffer.

b) Grenzprozesse mit Zahlen als Rechengrössen

Hier sind die Rechengrössen, das sind endlos viele Zahlen, mit elementaren Rechenoperatoren verknüpft. Bei den unendlichen Reihen dominieren die Operatoren „Plus“ und „Minus“. Bei den unendlichen Produkten sind es die Operatoren „Multiplikation und „Division“.

Heute werden beim Recherchieren nach Grenzprozessen und ihren Grenzwerten nur solche gefunden, deren Zusammenhänge Funktionen und Zahlen betreffen. Wir wissen bereits, der berühmte Euklid (ca 330 v.u.Z.) hat endlose Prozesse nicht in sein richtungsweisendes Grundlagenwerk ELEMENTE aufgenommen, obwohl seit Antiphon und Dinostratos (beide 5.Jh.v.u.Z.) schon Wissen zu endlosen Rechenprozessen bekannt war. Für gezeichnete Cohaerentic Kalkulationen werden wir nun abweichend zur euklidischen Tradition auch endlose, elementar mit Kreis- und Gerade- Objekten konstruierte Berechnungsprozesse betrachten. Mit dem anderen Paradigma der Cohaerentic wird über die euklidischen Konstruktionen hinaus gegangen, wie sie aus den Konstruktionen in den ELEMENTEN gefolgert werden können.

Beim nächsten Bild wird quasi mit zwei simultan gezeichneten Grenzprozessen, die gesamte Kreisumfangkurve (rot und schwarz) gerade gestreckt. Anhand eines späteren Videos wird es gut nachvollziehbar, dass die gestreckte Länge des Kreisumfangs als Summe von rot und schwarz immer gleich gross ist, unabhängig von der Drehposition der roten Radiusstrecke im Kreis.

Dabei wird mit immer mehr ausgeführten Schritte-Zyklen (Durchmesser verdoppeln und Winkel halbieren) einem Ergebnis als Grenzwert zugestrebt, ohne diesen jemals endgültig zu erreichen. Wir erkennen an diesem Beispiel, Grenzprozesse gibt es nicht nur für Lösungsberechnungen auf arithmetisch-algebraischer Grundlage sondern auch auf der Grundlage erfahrbarer kontinuierlicher räumlischer Kohärenz.

Im mathematischen Sinne verstehn wir eine Folge nun nicht nur als eine Aufzählung von Zahlen, sondern auch ein aufeinander folgendes Erzeugen von Punkten (Schnittpunkten), die als Punktekurve einen Grenzpunkt mit einem Grenzabstand zustreben und so die Merkmale für einen Grenzprozess erfüllen, der als klassisch Konstruktion ausgeführt wird.

Anhand der beiden obigen letzten Bild-Beispiele stellt sich die Frage, ob das dazu heute Gelehrte noch voll zutrifft? Bei Wikipedia steht unter dem Suchbegriff "Konstruktionen mit Zirkel und Lineal"/ "Unmögliche Konstruktionen" geschrieben,

"Viele geometrische Figuren können nicht allein mit Zirkel und Lineal exakt konstruiert werden" wozu auch die "Quadratur des Kreises " zählt.

Die obigen beiden Bilder stehen in einem gewissen Widerspruch zu dieser allgemein akzeptierten Einsicht. Diese Bilder demonstrieren ein klassich konstruiertes Geradebiegen des Kreisbogens bei gleicher Länge. Dieses Wissen ist eine Vorassetzung, um die Quadratur des Kreises als dynamische klassische Konstrktion ausführen zu können. Das Geradebiegen wird mit einem exaktem klassisch konstruiertem Grenzprozess ausgeführt und mit einer Sequenz zusammenhängend gezeichneter Kreis - und Gerade-Objekte realisert. Hier handelt es sich um einen exakten klassischen Konstruktionsprozess bei dem das erzeugte Ergebnis "Kreisbogenlänge" der erwarteten Grenzwert-Grössse mit mehr aufgewendeten Schritten immer mehr zustrebt. Die Schritt um Schritt fortschreitende exakte Konstruktion ist tatsächlich sinnfällig nachvollziehbar. "Unmöglich" ist hingegen, eine vollständige Darstellung der zusammengesetzten Ergebnisgrösse, wie sie bei den notwendigen endlosen Grenzprozesses vom Prinzip her auftreten.

Für folgende Uraufgaben sind gezeichnete Grenzprozesse für die gezeichneten Lösungsberechnungen erforderlich:

- Abroll-Länge vom Kreis,

- Länge des gerade gestreckte Kreisbogen (Rektifikation),

- ganze Kreisfläche und ihre Teile (Tortenstücke, Kreissehnenabschnitt)

- Winkeldrittelung, Winkelsiebentelung

- Verhältnis-Transformation Strecke<->Kreisbogen

Mit immer mehr ausgeführten Rechenschritten, sprich gezeichneten Objekten, kann dabei die Genauigkeit der Ergebnis-Darstellung verbessert werden, indem sie immer weiter vervollständigt wird. Dieses Vorgehen ist theoretisch ohne Ende fortsetzbar. Von besonderem Interesse sind deshalb solche klassich konstruierte Grenzprozesse, die durch eine verbesserte Konvergenz-Eigenschaft eine gewählte Ergebnis-Genauigkeit schon mit kürzeren Rechengängen erreichen.

Überlieferungen zu klassich konstruierten Grenzprozessen

Die Suche in Lexika und auch im Internet nach klassich konstruierten Grenzprozessen liefert kein direktes Ergebnis. Hingegen gibt es viele Treffer für Grenzprozesse mit Zahlen als Rechengrössen. Etwas näher dran ist da ein Annähern der Kreisfläche mit Grenzprozessen (https://home.ph-freiburg.de/deisslerfr/geometrie_II/sicher_geoII_06_07/Kapitel_2_06-07.pdf). Hierbei kann aber von einem klassich konstruiertem Grenzprozess keine Rede sein. Insbesondere wird da keine gezeichnete Ergebnisgrösse als Strecke erzeugt, die zweifelsfrei das Verhältnis π bildlich abbildet (π=gestreckter Kreisumfang /Kreisdurchmesser = Kreisfläche / Quadratfläche über dem Radius). Dabei wird sich für das Berechnen der Kreiszahl πnum im Rahmen des bekannten und heute gelehrten Wissens bewegt.

Das elementar gezeichnete Kalkulieren mit einem konvergentem Grenzprozess, der einem Grenzwert zustrebt, ist wie eingangs schon angesprochen, vom Prinzipiellem her mindestens seit dem griechischen Sophisten Antiphon (5.Jh.v.u.Z.) angedacht. Man erkannte, das gezeichnet berechnete Verhältnis πgeo und sein abgeleitetes π_num sind zwar exakt berechenbare, aber nur unvollständig zusammensetzbare Ergebnisgrössen.

Mit der veränderten Sichtweise für die Cohaerentic-Kalkulationen wird der klassich konstruierte Grenzprozess des Antiphon als ein elementares exaktes Berechnen der Kreisfläche verstanden. Hierzu gibt es keine Alternative eines noch elementareren Berechnens. Die Ergebnisdarstellung als Rechteckfläche bildet den Grenzwert Kreisfläche mit immer mehr Aufwand beim Berechnen immer genauer ab. Die Genauigkeit der Ergebnisdarstellung ist an den Umfang der hierfür geleisteten Schritte gebunden.

Seit Alters her bis heute ist aus esoterischen, religiösen und noch anderen Erwartungen heraus das Interesse an diskret darstellbaren Zahlen grösser als an den zwischenliegenden, nicht diskret als Zahl dastellbaren Positionen. Eine solche zwischenliegende, nicht endgültig diskret darstellbare Rechengrösse ist auch die Verhältnisgrösse π=Kreisumfang/Durchmesser.

Für Hilbert (1864-1943) waren Berechnungen mit klassich konstruierten Grenzprozessen offenbar ein Problemfeld von geringer Bedeutung. Daher hat auch er, wie Euklid, sie nicht in sein grundlegendes Werke "Grundlagen der Geometrie" aufgenommen. Klassich gezeichnete Grenzprozesse haben bis heute in der Mathematik keine hohe Bedeutng erlangt. Es fehlt das breite Interesse daran, was fehlende Beiträge in Lehrbüchern, und heute auch im Internet, belegen.

Mit den gezeichneten Cohaerentic Kalkulationen rücken nun auch Uraufgaben des Berechnen in den Blickpunkt des Interesses, deren Lösungen klassich konstruierte Grenzprozesse erfordern.