Warum mit geometrischen Zusammenhängen (Kohärenzen) berechnen?

Die Antwort auf die obige Frage ist, es sollen Rechenzusammenhänge auf der Grundlage geometrischer Zusammenhänge  besser verstanden werden.  Dabei helfen Cohaerentic-Konstruktionen helfen. Diese entstehen als Sequenzen konstruierter zusammenhängender Kreis- und Gerade-Objkete, welche auch endlose geometrischen Zusammenhänge, wie das Geradebiegen eines Kreisbogens, die Neusis-Lösungsprozesse zum Winkeldritteln  usw,  exakt und vollständig beschreiben werden.  Es wird dabei erkannt, Gerade, Kreis, Parabel und Hyperbel  sind hier   anschaulich nachvollziehbarer miteinander verbunden,   also anders als  bei den bekannten Kegelschnitt-Modellen. Folgende Bilder  und auch die späteren Videos zeigen diesen Unterschied  recht gut.
 
     Urkohärenzkurve 2 page 1
 
 
 
Obwohl heute die  meisten Menschen konkrete Vorstellungen haben, was mit dem  Begriffs "Berechnen" gemeint ist,  gibt es   im Internet-Lexikon Wikipedia    zum  Begriff "Berechnen"   keinen  direkt aufklärenden  Eintrag.
 
Wir nennen das  Wissensgebietes "klassich konstruiertes Berechnen"   in der Abstraktion zu bekannten Berechnungen "Cohaerentic". Die Wortwahl  geschieht  in Anlehnung an das lateinische Wort "cohaerentia" = Zusammenhang.
Neben endlichen   Sequenzen zusammenhängender Kreis- und Gerade-Objekte werden nun auch endlose Sequenzen (= klassich konstruierte  Grenzprozesse) betrachtet. Bei den Coharenetic-Betrachtungen  werden die  die Punkte  als Schnittpunkte  ohne eigene matarielle Existenz, und ohne räumliche Ausdehnung, verstanden. Sie sind die  Schnittpunkte von Linien, welche die Grenzen zwischen zwei raumausfüllenden Medien bilden. 
Bereits seit der Antike sind   beschränkt  genäherte  Lösungsprozesse  für die Größe des Kreisverhältnisses   π oder des Winkeldrittels  bekannt. Es findet dabei   ein beschränktes Zustreben auf das wahre Ergebnis statt. Mit mehr  investierten Schritten wird dabei beim Ausziehen von Wurzeln  zu keiner köheren Ergebnisgenauigkeit gelangt.  Ein oft in der Neuzeit dafür zitiertes Beispiel,  wurde im Jahre 1637 von Adam Kochanski (1631-1700) veröffentlicht. Es zeigt die Konstruktion für die genäherte Strecke des Kreisverhältnisses  π. Mit sogenannter   mathematischer Strenge betrachtet betrachtet, wird hier nicht ganz sauber gearbeitet.  Obwohl das Kreisverhältnis π keine Zahl ist, wird es oft mit der  Kreiszahl πZahl , die das Kreisverhältnis  nur unvollständig abbildet, gleich gesetzt.  
Seit der Antike sind  bereits  Neusis-Konstruktionen bekannt, bei denen  ein unbeschränktes Zustreben auf das wahre Ergebnis theoretisch mit einem Gedankensprung realisiert wird. So bleibt die Aktion eines  abgeschlossenen Zustrebens auf das exakte Ergebnis  nur ein theoretischer Gedanke.
 
Die  Cohaerentic-Betrachtungen   gehen,  indem nun auch  auch klassich konstruierte Grenzprozesse betrachte werden, über die bekannten klassichen Konstruktionen zu den algebrischen Operationen hinaus.Nun ist auch ein endlos  unbeschränktens Zustreben auf das wahre Ergebnis  Grenzpunkt (Grenzzustand) zugelassen. Hierbei werden  auch endlos autokonvergente Grenzprozesse entdeckt. Auch solche,  die mit weniger Schritten eine  brauchbare  Ergebnis-Genauigkeit erreichen, für die normal mehr  Schritten erforderlich sund. 
Viele fundamentale Uraufgaben können erst mit konstruierten Grenzprozessen anschaulich nachvollziehbar  gelöst werden. Dazu zählen die   Kreisumfanglänge,   das Winkeldrittel  und weitere. Nun gibt es für diese  Urberechnungen   bildlich anschaulich und  logisch nachvollziehbare   Kohärenz-Modelle. 
 
Heute hilft die "dynamische Geometrie-Software (DGS)" auch die elementaren funktionellen  Abhängigkeiten  anschaulich und  logisch nachvollziehbar zu machen. Werden hier unabhängige Variable im DGS-Zugmodus bewegt, sind   die  Zusammehänge bis zur abhängig bewegten Variablen  anschaulich nachverfolgbar. t werden. Dieses Vorgehen  machen  Videos sehr gut nachverfolgbar.
 
Aus dem Altertum und insbesondere seit    Euklid (ca.330 v.u.Z) sind keine  klassisch konstruierten Grenzprozesse  überliefert. Dies wirkt bis heute nach und bremst immer noch die Motivation zur Nutzung von konstruierten Grenzprozessen.    Mit  den Cohaerentic-Urberechnungen wird  diese von Euklid ausgehende   Denkblockade zu klassich konstruierten endlosen Grenzprozessen  durchbrochen.  Möglich machen es klassisch konstruierte  Grenzprozesse, die sich auf geometrische Gesetzmäßigkeiten stützen. Sehr überraschend ist hier die  hohe Effizienz der konstruierten Grenzprozesse. Infolge einer starken Konvergenz ist schon  mit nur wenigen Schritten ist ein nahezu vollständiges  Zustreben auf des wahre Ergebnis Grenzpunkt erreicht.
Die aritmetischen Nachrechnungen  zeigen, für das Winkeldritteln mit konstruiertem verkürztem autokonvergentem Grenzprozeß  sind  nur etwa nur 15 gezeichnete Kreis- und Gerade-Objekte  erforderlich,  um  Ergebnisse mit  über 15 wahren Nachkommastellen zu erzeugen.

  

 

 

Über klassisch konstruierte Grenzprozeß-Folgen

Das  folgende  Bild zeigt eine  klassisch Konstruktion zum Dritteln eines   Rechtecks bzw. einer Strecke.  Hier wird vom bekannte Vorgehen mit dem Strahlensatz abgewichen. 

Einmal wird eine elementar konstruierte  Dreiteilungsberechnung ausgeführt und zugleich auch ein konstruiertes Berechnen mit einem endlosen Grenzprozeß. Dieser strebt  einem Ergebnis als Grenzrechteck bzw. Grenzpunkt zu.Mit einem hierzu analogen Prozeßvorgehen   gelingt auch für  Kreisbögen bzw. Winkel ein klassisch konstruierter  Drittelungsprozeß, sofern  der Radius viel größer als die Bogenlänge ist

Geometrische Konstruktion als  Berechnungsplan: 

Die real ausgeführte Konstruktion zum exakten Grenzprozesse ist zugleich Kostruktionsplan und beschreibt alle Schritteaktionen vollständig bis ins Endlose, was erst durch die Nutzung von sich wiederholenden Schrittezyklen möglich wird. Ein  immer vollständiger ausgeführtem  Grenzprozeß vervollständigt das konstruierte Kohärenzmodell und erhöhrt mit weiteren Zeilen nach unten  die Genauigkeit der abhängigen Darstellung des Ergebnisses Drittel immer weiter.   Dieses Fortsetzen  ist,  zumindest theoretisch endlos möglich.  

Von Alters her gibt es zu den  konstruierten Grenzprozessen   Irritationen und Denkblockaden. Sie resultieren aus   unterschiedliche Sichtweisen zur  Erzeugung und  Darstellung des Ergebnisses.   Schon sehr früh gab es im alten Griechenland  erste  Lösungsversuche  für die  klassisch zu konstruierenden drei Aufgaben, dem Winkeldreiteilen, der flächengleichen Umwandlung der Kreisfläche in eine Quadratfläche (Quadratur) und dem Doppeln des Würfelinhalts. Besonders zu nennen sind hier  Antiphon und Bryson (5Jh.v.u.Z.), sowie Hippias von Elis und Dinostratos (5/4.Jh.v.u.Z.)  Diesen alten Griechen war offenbar vom Grundsätzlichen her klar, dass  bei der Kreisquadratur die gesuchte  gleichgrosse Quadratfläche aus den zerkleinerten Kreissegmenten zusammengetzt werden muss.  Bei realer Ausführung wird die   Multi-Teilung und nachfolgende  Multi-Summation  immer vorzeitig   abgebrochen. Trotz des exakten Lösungsvorgehens  führt der  nur unvollständig ausgeführte Lösungsprozess zu einer nur unvollstängigen Grössen-Darstellung der neu zusammengesetzten Quaratfläche. Anders als bei bekannten beschränkten Näherungen, wie der oft zitierte Näherung für das Kreisverhältnis π von Kochanski (1684). Bei einer   unbeschränkten Näherung kann mit immer mehr ausgeführten Schritten des exakten Grenzprozesses, die alle in einem    Konstruktionsplan vorgeben sind, zu   immer vollständigeren   Ergebnisdarstellungen gelangt werden, der  ohne Ende fortgesetzt werden kann. 

Der berühmte Geometer Euklid (ca 330 v.u.Z.) knüpft in seinem  richtungsweisendes  Grundlagenwerk ELEMENTE   nicht an das seit Antiphon (5.Jh.v.u.Z.) bekannte Wissen zu  Zusammenhängen des Berechnens der Kreisfläche an. Euklid betrachtet nur statische Zusammenhangsysteme, wie die  Konstruktion eines Mittelpunktes oder eines Rechtecks usw.  Seine klassich konstruierten exakten Ergebnisse sind nach endlich vielen zusammenhängend gezeichneten  Kreis  und Gerade- Objekten endgültig fertiggestellt. Euklid betrachtet keine konstruierten Grenzprozesse und so bleiben solche  in der Geometrie bis heute weitgehend unbetrachtet.  Für Euklid  waren nur mit endlich vielen Schritten  konstruierte   Sequenzen zusammenhängender  Kreis-  und Gerade-Objekte  exakte Berechnungen. Das euklidische Vorgehen setzt sich bis heute fort. Mit den ELEMENTEN   begründet Euklid eine   bis heute anhaltende Denkblockade zu  klassisch konstruierten Grenzprozessen. Im historischen Entwicklungszeitraum  verlief die Entwicklung  zu Grenzprozessen nur im Zusammenhang mit Zahlen (unendliche Reihen / Multisummen und unendliche Multiprodukte).  und beginnt   beginnt  in der Neuzeit   mit Vieta (1550-1603), der für das Kreisverhältnis π einen endlosen Berechnungsprozess als unendliches Produkt  angab:

 

Klassisch konstruierte  exakte Grenzprozesse  bleiben  so bis heute  weitgehend unbetrachtet und ungenutzt. Weil es  für diesen bremsenden Sachverhalt keine überzeugende Begründung gibt, werden wir im  Rahmen der Cohaerentic-Kalkulationen  nun auch  klassisch konstruierte  exakte Grenzprozesse, die einem exakten Grenzwert / Grenzzustand zustreben, betrachten und nutzen.

Was soll mit Urberechnugen erreicht werden?

Durch das methodische Erweitern  des Berechnens um klassisch  konstruierte  Grenzprozeß-Folgen, die als Sequenzen von Kreis- und Gerade-Objekten konstruiert werden, wird  das Phänomen des "elementaren Berechnens" der Raumkohärenzen  verständlicher. 

Maßnahmen zur Verbesserung der Effizienz konstruierter Grenzprozesse

Bei den Cohaerentic- Berechnungen werden die klassischen Konstruktionen zum Berechnen nicht  nur als eine mit endlich vielen Schritten konstruierbare Strecke bzw. Zahl erwartet, sondern nun auch als konvergente endlose Folge konstruierter Punkte, die einem  Grenzpunkt zustreben, der das erwarteten Ergebnispunkt ist. Das folgendes Bild zeigt eine solche Grenzprozeß-Konstruktion für ein  Abrollen des Halbkreises. Mit einem durch die letzten drei Folgepunkte  konstruierte  Fortsetzungskurve "Kreis duch 3 Punkte"  wird  der Lösungsprozeß verkürzt. Besagter Kreisbogen verläuft hier von der rechten unteren Bildecke durch die besagten letzten 3 Punkte zur linken oberen Bildecke.

4 Users drschl Documents buch 2015 lyx CLS Bildmodelle Pi Berechnung Kreisumfang Siggi Pi Idee

Mit dem sehr kontinuierlichen kreisähnlichem Verlauf der Punktekurve  ist   es nahegegelgt,  die  Punktefoge  dieses konstruierten Grenzprozesses  mit  einer  Fortsetzungskurve  "Kreis" weiter zu führen und damit den Prozeßablauf  zu verkürzen. Diese Fortsetzungskurve  wird  hier  als  Kreiskurve durch die letzten  drei konstruierten Folgepunkte   konstruiert.   Auf diese Weise  sind schon mit wenigen zusätzlichen Schritten, gemessen an den endlos vielen möglichen Schritten, stark reduzierte   Ergebnisabweichungen erreicht,  siehe Bild. Es ist der kontinuierliche natürliche Raumzusammenhang der die Verkürzung des Grenzprozesses ermöglicht. Mit dem Erhöhen der Eckenanzahl des Vielecks wird  die Kreisfläche  bzw,   die Kreisumfanglänge immer vollständiger  berechnet.  Hier wird hier mit den Abrollprozessen des regulärem 4-Eck, des 6-Ecks und des 8-Ecks  zur Fortsetzungskurve  "Kreis" gelangt. Es überrascht, wie umfassend  der natürliche  kontinuierliche Raumzusammenhang bereits  mit dieser geringen Eckenanzahl  zutage tritt.  Ein endloses Fortsetzen des Konstruierens (Berechnens) kann hier schnell zur sinnlosen Aktion werden, da die  dann  die erreichte  höhere Ergebnisgenauigkeit der Ergebnis-Darstellung   keinen Sinn mehr hat.

 

Unterschiede  zwischen einer    beschränkten und einer unbeschränkten klassischen Konstruktion 

Die Unterschiede  zwischen einer beschränkten    e u k l i d i s c h e n   Konstruktion  und einer darüber hinaus gehenden unbeschränkten klassischen Konstruktion   wird anhand  des  folgenden  Bildes   erklärt. 

Ohne das im linken Bild eingezeichnete Kurvenstück   Hyperbel ist dieses   Bild eine klassisch euklidische Konstruktion. Sie ist  mit enlich vielen Schritten erzeugt.  Die   Lösungsweg-Beschränkung  auf endlich viele   zusammenhängende   Kreis- und Gerade-Objekte und das Weglassen elementar konstruierter Grenzprozesse mit endlos erzeugbarer Punkte-Folge  ist hier voll erfüllt.  Diese Beschränkung wurde  im antiken Griechenland  neben der Beschränkung auf Kreis- und Gerad-Objekte praktiziert. Dieser Sachverhalt  wurde nicht besonders hervor gehoben. Mit der eingezeichneten Hyperbelkurve werdem  meine vorgezeigtes  Bilder zu einer erweiterten klassischen    Konstruktion. Mein bildliches Kohärenzsystem "Rechteck-Kreis" ist Erzeugungsplan (Algorithmus) für das    klassische Konstruieren beliebig vieler Punkte der Hyperbelkurve. Eine durchgezogene Hyperbel-Spurkurve entsteht so aber nicht. Sie ist quasi erst das gedankliche Ergebnis nach endlos vielen konstruierten Hyperbelpunkten. Diese liegen dann endlos dicht benachbart   und erreichen damit dann den Grenzzustand " zusammenhängende Punktefolge = Spurkurve"..   

Unser  gezeigtes  bildliches Kohärenzsystem lässt  die systematische  Zusammenhänge zwischen Hyperbelkurve  und Rechteck erkennen. Das gelbe Rechteck mit konstanter Flächengrösse  hängt  hier durch seine  verschiedenen Gestaltausprägungen  systematisch  mit  Kurvenpunkten der Hyperbel und des Kreises zusammen. Beide Kurven sind somit miteinander verwandte  Kurven. Jedem Punkt einer Kurven ist hier jeweils eindeutig ein Punkt der anderen Kurve zugeordnet und umgekehrt.  Dieser gezeichnete Kohärenz-Sachverhalt wird  in der Abstraktion mit den bekannten grundsätzlichen Rechenoperationen von Multiplikation/Division beschrieben. Unter den Überschriften "Duplikate" und "Binärlogarithmen" wird später ein noch effizienteres  Beschreiben dieser  systematischen Zusammenhänge   aufgezeigt.  

Insgesamt wird mit den gezeichneten Cohaerentic-Kalkulationen der Frage nachgegangen, ob   letztlich   alle     klassich konstruierten Rechenzusammehängen der  Rechenoperationen auf diese Weise erklärt werden können?  Schon die Kurven von Kreis und Gerade (Bescränkung auf Zirkel und Lineal ),  die wir Urkurven nennen,  modellieren bildhaft fundamentale Raum- und Rechenzusammenhänge.  Es wird erkannt, die  höheren Rechenzusammenhänge  bauen allein auf die niederen auf. So können auchfür viele höhere  Kurven die Punkte mit gezeichneten Cohaerentic-Kalkulationen exakt konstruiert und darstellt werden.  Interessante   höhere  Kurven sind sind hier  quadratische und kubische Parabeln,  Hyperbel-  und  Potenzkurven,  sowie  auch weitere krumme Kohärenzkurven, die spezielle Zusammenhänge modellieren. 

 

Mehr über elementaren Konstruktionen

Die einfach verständlichen drei klassischen Aufgaben der Antike, Winkeldreiteilung, Kreisflächenberechnung (Quadratur des Kreises) und Würfeldoppelung,  gelten schom seit Alters her als  unlösbar. Schon eifache Betrachtungen zum klassich konstruierten Ausmessen zeigen , daß  allein mit Zikel und Lineal bzw, mit konstruierten endlich vielen Kreisen und Geraden   keine Intervall- bzw. Rastergröße als Maßeinheit (Auszähleinheit)  erzeugt werden kann, deren Summe eine belieg gegebnenes Meßobjekt Winkel- oder Strecke exakt ausfüllen. Es bleibt immer ein fehlender oder überschießender Rest. Mit wenigen Schritten kann eine zu digitalisierende Größe nur grob durch die ausgezählte Ergebniszahl abgebildet werden. Mit immer mehr aufgewendeten Schritten wird die Abbildung immer genauer und der Darstellungsumfangder der abzubildenden Zahl immer umfangreicher. Vielleicht wußten dies auch schon die alten Griechen und auch daß dieser Sachverhalt auch bei vielen elementaren Berechnungen  zutrifft und das erwartete Ergebnis   unmöglich vollständig  konstruiert werden kann?  Die Aussage,  warum es unmöglich ist, stützen sich auf  im 19. Jahrhundert geführte  berühmter mathematischer Beweise.  Für das  Winkeldritteln  und das Würfeldoppeln müsse eine dritten Wurzel elementar konstruiert werden , was unmöglich sei.  Für die   Kreisfläche  fehle   es an einem elementar konstruiertem exakten Berechnen des Kreisverhältnisses π = Kreisumfang /Durchmesser.  Dievon Lindemann beim Beweis zur π-Transzendenz zugrunde gelegte  Eulersche  Identität e+1=0  kann   in keinen klassisch konstruierten  Rechenzusammenhang übergeführt werden.  Trotzdem kann man  bei Wikipedia lesen,   für diese klassischen Aufgaben gebe es durchaus einfache exakte Lösungen, wenn die  euklidischen  Beschränkungen für den Lösungsweg, auch die auch geometrische Prinzipien genannt werden, nicht   eingehalten werden,  sie nicht erfüllt.:

a) - keine weiteren Werkzeuge und Hilfsmittel neben  Zirkel und Lineal   hinzu nimmt

b) - keine schon gezeichneten Kurven verwendet, die über Kreis und Gerade hinaus gehen.

c) - konstruierte Grenzprozesse   betrachtet,  da sie nicht  erwartet werden. 

Nachvollziehbare  ernsthafte Erklärungenwarum diese Beschränkungen  eingehalten werden sollen, sind nicht überliefert.  Führen die Beschränkungen zu Vorteilen oder nur zum  Wohlgefallen der Götter?  Als Motivation bleibt noch der sportliche Aspekt. So wird mit dem  Errichten von Hürden eine  Laufstrecke  schwieriger und damit interessanter.  In der antiken Fachliteratur und heute auch bei Wikipedia im Internet  sind Beispiele für exakte Lösungsberechnungen dargestellt, bei denen die Beschränkungen  a) und  b) nicht eingehalten werden.  Dabei wird mit den Werkzeugen  Neusis-Lineal mit Strichen,   dem Bieberbach-Rechwinkelhaken, einem Tomahawk  usw. gearbeitet. Ein bislang unbetrachtetes Problem ist, diese hinzu genommenen weiteren Werkzeuge, Kurven und Hilfsmittel  müssen in eine ideale  räumliche  Anordnung  veretzt werden. Dazu ist ein  letztlich endlos kleiner Schritt auszuführen, was real nicht erreicht werden kann.   Dies hat zur Folge,  wenn  solche zusätzliche Hilfsmittel genutzt werden, wird die mit Beschränkung c)   verbundene "Endlichkeitsforderung" niemals  vollständig erfüllt.   

Für die Beschränkungen  a) bis c)  ist lange Zeit  kein  exaktes Lösungsberechnen  gesucht und  gefunden worden. Hinderungsgrund war  wohl auch die Vorstellung, daß in der Wirklichkeit niemand   die  Zeit hat, endlos viele Schritte auszuführen.   

Historisches zu Grenzprozessen  

Antiphon (5. Jh. v.u.Z.)

Der Ursprung des Gedankens zu Grenzprozessen findet sich bei Antiphon (5. Jh.v.u.Z.). Er will mit immer kleineren, quasi endlos kleinen  Dreieckflächen einen  Kreis immer vollständiger ausfüllen. Mit unseren heute gebräuchlichen Begriffen gilt: Wächst die Zahl der kleinen Dreiecke ins Endlose, dann wächst deren Multi-Summe gegen den Grenzwert der Kreisfläche. Über eine von Antiphon durchgeführte praktische Umdsetzung  seiner Berechnungsidee ist nichts überliefert. Später wird sein fundamentaler Lösungsansatz immer wieder aufgegriffen und weiter entwickelt. Dies findetr statt, obwohl dem Antiphon mangelndes Wissen und auch Trugschlüsse zu seinem fundamentalem Berechnungsvorschlag  unterstellt wurden, was bis heute anhält.   Bryson, ein Zeitgenosse,  hat dem Innen-Vieleck des Antiphon das Aussen-Vieleck hinzugefügt. Die wahre Kreisfläche wurde nun zwischen denbeiden Vielecken eingeschlossen.  

Hippokrates (um 440 v.Z.)       Neusis-Kostruktion  

Archimedes (285-212 v.u.Z.)   Kreisberechnung und Neusis-Kostruktion zum Winkeldritteln

Nicomedes (285-210 v.u.Z.)    Neusis-Kostruktion zum WinkeldrittelnKreisberechnug:     Archimedes ist der Erste, der auf der Grundlage der Ideen von Antiphon und Bryson eine praktische Berechnung mit einem regulären einbeschriebenem und umbeschriebenem 96-Eck ausführt. Er weiss, wie auch Antiphon und Bryson, es muss theoretisch eigentlich bis zu endlos vielen Ecken  forgesetzt gerechnet werden. Dies ist in der Realität nicht möglich, so daß immer nur ein Zwischenergebnis und eine unvollständig Ergebnis-Darstellung, beispielsweise mit nur 5 wahren Nachkommastellen, zustande kommt. Ohne Nutzung der Zahlen wird hier zu keinem Ergebnis gelangt. Das Archimedes-Ergebnis ist somit keine klassich konstruierte Sequenz von Kreis- und Gerade-Objekten. 

Neusis-Kostruktion zum Winkeldritteln:       Archimedes ist auch der Erste, der auf der Grundlage der Ideen von Hippokrates   (5.Jh. v.u.Z.)  eine praktische Berechnung des Winkeldrittels angeht. Anhand eines Lineals mit einer Abstansmarkierung erklärt er, bei welcher Konstellation des Linealanlegens das Winkeldrittel erreicht ist. Bei abstrakter Betrachtung dieses Vorgehens läuft es immer auf eine  herbeiprobierte  Lösung hinaus. Wird  die erreichte Anlegesituation  immer so lange "gezoomt", bis   eine noch vorhanden Abweichung erkannt wird, muss auch immer noch  ein Nachrücken des Masslineals erfolgen.  Dieses Vorgehen hat vom Prinzip her kein Ende. Archimedes weiss sehr wohl, dass er einen quasi endlos fortzusetzenden  Prozess des Berechnens vorzeitig abbricht.

Archimedes Lineal WDT

 

Pappos von Alexandria (3. Jhd.)   Neusis-Kostruktion zum Winkeldritteln

Viete (1540 - 1603)                      Neusis-Kostruktion zum Winkeldritteln

Viete hat seine Neusis-Konstruktion unabhängig zum dem Wissen aus der Antike gefunden. da zu seiner Zeit das Wissen zu Neusis-Konstruktionen aus der Antike in Europa nocht nicht zur Verfügung stand.

Descartes (1596-1650))               Parabel-Konstrktion zum Winkeldritteln

Descartes hat seinem berühmten Werk von 1637 " la Geometrie" auch einen Beitrag zum exakten Dreiteilungsprozeß des Winkels mit Hilfe einer Kohärenzkurve quadratische Parabel veröffentlich. Seiene geometrischen Konstruktion, zeigt das folgende Bild.   

 

Aus den linken Teilbild mit der Parabel ist zu erkennen, daß ein Kreis eine Parabel vier mal schneidet. Beim rechten Teilbild sind ein zu dreiteilender Winkel  ∠PON  und die gesuchten Drittelwinkel ∠POT,  ∠TOQ  und  ∠QON  zu  erkennen. Leider findet sich keiner der Punkte vom rechten Teilbild im linken Teilbild wieder und umgekehrt, was das Verständnis nicht fördert. Aus dem linken Teilbild ist ein Bezug zur Dreiteilung leider nicht direkt zu erkennen. Die   durch Descartes etwas unglücklich gewählte Darstellung des konstruierten Lösungsprozesses hat dazu geführt, daß sein erdachter Lösungsprozeß etwas in Vergessenheit geraten ist. Im Internet-Lexikon Wikipedia sind viele Lösungsversuche zur Wnkeldreiteilung gesammelt und ausführlich besprochen. Die Descartes-Lösung  ist hier nur  kurz erwähnt und sein  obiges Bild   ist ganz weggelassen. Es  bleibt somit unbetrachtet und unerklärt. Die Bedeutung dieses exakten Lösungsprozesses von Descartes ist gegenüber den anderen ausführlicher abgehandelten Lösungsprozessen nicht erkannt. Wir werden ein ausführlicheres  Betrachten der systematischen Winkel-Dreier-Kohärenz im Kreis werden wir   Später im Kapitel  "Enträtseltes Winkeldreiteilen"  werden wir die Parabel-Winkeldreiteiung noch ausführlich darlegen.  

Fialkowski (1818-1902)

Nicolaus Fialkowski, ein österreichischer Mathematiker, hat in seinem Buch, Nikolaus Fialkowski, "Theilung des Winkels und des Kreises", Wien Verlag Gerolds Sohn 1860, S. 11; 12   als erster eine  exakte Winkeldreiteilung durch gezeichnete fortgesetzte Halbierungen veröffentlicht.

IMG 1538

Damit  die Folge der Aktionsschritte "Halbieren"   besser nachverfolgt werden kann, ergänze ich die  Zeichnung von Fialkowski   mit  einem Hilfsstreckenzug mit angebrachten laufenden Nummern, welche die aktuellle Zahl der Halbierungen benennen.

Fialkowski  selbst nennt seine    Winkeldreiteilung durch Halbieren  eine Näherung und genügt damit der quasi amtlichen Mathematik, die wegen der nicht ausgeführten endlos vielen Schritte von genäherten Berechnungen  spricht. Andererseits hat Fialkowski aber erkannt, dass sein Winkelteilen doch ein gezeichnetes exaktes unbeschränktes Berechnen ist. Er schreibt hierzu:

"Mann kann durch fortgetztes Halbiren  der Trisection des Winkels so nah, wie man will, kommen, so nahe, dass der Unterschied kleiner als jede angebbare Grösse wird".

Fialkowski trägt  sogar  selbst  zu einem  schnelles Vergessen seiner  erfundenen exakten Winkeldreilung bei, denn er schreibt:

"Allein diese Construktion hat für das praktische Zeichnen gar keinen Werth; erstens weil man die nach und nach kleiner und kleiner entstehenden Winkel geometrisch nicht so leicht nach dieser Art halbiren kann, aus welchen Gründen  diese Methode beim praktischen Zeichnen nicht anwendbar ist."

Fialkowski weist hier auf eine schwache Konvergenz hin, bei der  eine brauchbare vom wahren Ergebnis nicht mehr weit entfernte Zwischenergebnis-Darstellung, erst nach sehr vielen Prozeßschritten errreicht wird. Hier stellt sich die Frage, wie wird von einer schwachen zu einer starken Konvergenz gelangt, um die Anzahl der erorderlichen Schritt zu vermindern?

Mit den   klassich konstruierten  Cohaerentic-Kalkulationen wird das Ziel verfolgt,  die drei klassischen Uraufgaben und auch weitere mit elementaren Konstruktionsprozessen  exakt zu berechnen . Es wird dem Ziel  nach einer kurzen Konstruktionsprozedur  ohne Probieren  nahe gekommen.    Dabei wird schon sehr bald  das Ausführen weiterer Schritte   zur sinnlosen Aktion, da die damit erreichte hohe Genauigkeit nicht mehr darstellbar ist und auch nicht mehr gebraucht wird.      

 

Paradoxe Situation bei fundamentalen Uraufgaben:

In den  drei klassischen Aufgaben der Antike,  die Dreiteiung des Winkels, die flächengleiche Umwandlung der Kreisfläche in ein Quadrat und das Verdoppeln des Würfelvolumens  finden sich grundsätzliche Zusammenhänge für  klassisch konstruierte  exakte  Berechungsprozesse:  

Eine sehr fundamentale Aufgabe ist dabei das folgende konstruierte  Berechnen: 

"Ein gezeichnetes beliebig gegebenes Drehungen-Verhältnis in ein gleichgrosses Strecken-Verhältnis   überzuführen  und umgekehrt." 

Die dazu passende Situation finden wir in der Praxis  mit dem Rad und der Frage nach der Größe seines Abrollweges, wenn sich diese eimal dreht? Ähnlich ist es mit  der Größe der Seillänge, die  von einer  drehenden  Seiltrommel  abgerollt.

Eine paradoxe Situation ist, daß es für keine beliebig gegebenen Ausdehnungsgröße  eine exakt abbildende Kommazahl mit nur endlich vielen Nachkommastellen gibt. Paradox ist hierzu, daß seit der Antike trotzdem  nach solchen diskreten Ergebniszahlen und nur endlich viel zu  konstruierenden Kreis-/Gerade-Objekten.gestrebt wird. Verwirrend wird  es dabei mit dem Gleichsetzen  von Kreisverhältnis π = Kreiszahl oder und auch, wenn das    Ergebnis  Winkeldrittelgröße  mit endlich vielen Schritten bzw. nur endlich vielen  konstruierten Urobjekten Kreis / Gerade (quasi als Zahlgröße)  dargestellt werden soll.

Unser Ausmessen des Kreisunfangs und unser  arithmetischs oder konstruiertes  Berechnen des Kreisverhältnisses münden in klassisch konstruierten endlosen Grenzprozessen.  

 

Arithmetik

Die Arithmetik ist die "Rechenkunst" mit Zahlen als Rechengrössen.  Die Algebra ist die "Rechenkunst"  mit Buchstaben als Platzhalter  in Gleichungen, wie  beispielsweise bei  3x+7=2   oder c2=a2+b2 beim Satz des Pythagoras.   Für Cohaerentic-Kalkulationen schauen wir als Wissensquelle nicht auf Arithmetik und Algebra, sondern  auf  die elementare Geometrie. Dabei wird zur  Systematik im Erfahrungsraum geforscht. Es interessiert, wie  räumlich ausgedehnte  Objekte miteinander zusammenhängen, beispielsweise die Kreisflächengrösse mit der Kreisradiusgrösse.  Dargestellt wird das gesammelte Wissen dann  in  abstrakten Sätzen zu bildlichen Kohärenzmodellen wie im Satz des Thales, im Satz des Pythagoras,  im Höhen- und Kathetensatz des Euklid usw.  Im 15.Jahrhundert  mündet dies Betrachten  in abstrakteren  symbolischen Darstellungsformen, insbesondere in Kegelschnitt-Gleichungen. Das Wissensgebiet dazu wird heute  mit  "Analytische  Geometrie" bezeichnet.  Die  direkte anschauliche Erfahrung  wird seitdem  immer weniger in Anspruch genommen. Anders wird nun bei den klassisch konstruierten  Cohaerentic-Kalkulationen vorgegangen. Es findet eine  Rückbesinnung auf die Wissensquelle  Erfahrungsraum statt.

Der Bergriff Cohaerentic ist ein  erfundenes Kunstwort, das Bezug auf das lateinische "cohaerentia = Zusammehang" nimmt. Wir bezeichnen  damit  ein Wissensgebiet zum klassich konstruierten  "Kalkulieren" mit natürlichen Rechengrössen. Diese werden mit  zusammenhängenden Kurvenstücken  von Kreis und Gerade (Beschränkung auf Zirkel und Lineal) gezeichnet. Hierbei sprechen wir von einem Urberechnen, dessen Grundlagen die Wissensquellen         klassisch konstruierte Kohärenzsysteme sind.   Die Kenntnis von Arithmetik und Algebra  sind dabei  nicht notwendig.

Unterschied von euklidischer Konstruktion und klassisch konstruierten Berechnungen  

a)     Klassich konstruierte Berechnungen  und  elementare  Konstruktionen    werden  beide mit den Urkurven Kreis und Gerade gezeichnet. Bei elementaren Konstruktionen sind nur endlich viele Schritte bzw. gezeichnete Objekte bzw. Grundrechenoperationen zugelassen. Hingegen sind bei konstruierten Berechnungen   auch   Berechnungsprozesse für Grenzwerte mit  Zyklen-Wiederholungen zugelassen, was theoretisch  endlos fortsetztbar ist.   Auf diese Weise kann jede gewünschte Ergebnis-Genauigkeit herbei konstruiert  werden.

Historischer Abriss:    

Schon sehr früh bringt  der griechische Sophist  Antiphon (5.Jh.v.u.Z.) das Problem des Berechnens mit endlos vielen Berechnungsschritten  ins Spiel, um für die Kreisfläche zu einer reproduzierbar berechneten  Grenzwert-Darstellung zu gelangen. Er schlug vor, die Kreisfläche mit  immer mehr kleinen Dreiecken immer vollständiger auszufüllen, was einer Kreisannäherung mit einem regulären Vieleck mit immer mehr Ecken gleichkommt.  Theoretisch kann hier die Eckenanzahl ohne Ende erhöht werden. Diese Idee  stösst aber bis heute  auf ablehnende Interpretationen.  Antiphon erliege dem  Trugschlüss,  seine    vorgeschlagene  Vorgehensweise  führe für das reguläre Endlos-Vieleck zur wahren Grösse der Kreisfläche. Tatsächlich werde aber nie zur exakten Kreisflächengrösse gelangt.

Seitdem wird für  elementare  Konstruktionen  die wohl esoterisch und religiös motivierte  Erwartung  vererbt, dass gezeichnete Berechnungsprozesse  nur dann exakte  Berechnungen sind, wenn sie  mit endlich vielen  Schritten   eine diskrete,   endgültige  Ergebnisdarstellung erzeugen. 

Da heute die einst  esoterisch und religös motivierten Ausschlussgründe für endlos fortsetzbare Berechnungsprozesse nicht mehr überzeugen, lassen wir sie   sie   bei den elementar gezeichneten Cohaerentic - Kalkulationen weg. Nun sind auch theoretisch endlose Prozesse zugelassen,  was neue  Quellen für wichtiges   Wissen zum Berechnen zugänglich macht. 

 

b)    Bei Cohaerentic-Kalkulationen soll zusätzlich für den gesamten Rechengang das Kriterium für ein anschaulich sinnfällig nachvollziehbares  Zutreffen  erfüllt sein. Dafür muss aus den gezeichneten bildlichen  Sequenzen der zusammenhängend gezeichneten Kreis- und Gerade-Objekte das erwartete Ergebnis immer zweifelsfrei nachvollziehbar gefolgert werden können. Zweifel am exakten Zutreffen des Ergebnisses werden so ausgeschlossen. Dieses Kriterium  wurde  im historischen Zeitraum nicht und wird auch heute nicht betrachtet. So kommt es, dass die   Ergebnisse einer elementaren Konstruktion  oft überraschen, wie bei einem Zaubertrick. Die Frage, warum funktioniert es,  bleibt dann offen? Die von Dinostratos  (ca. 450.v.u.Z.) und Kochanski (1683) vorgezeigten   elementaren  Konstruktionen für ein gezeichnetes  genähertes Kreisverhältnis  π = Kreisumfamg /Kreisdurchmesser  sind Beispiele  für die besagte Überraschung.  Durch mehr investierten Rechenaufwand, beispielsweise   beim Ausziehen von Wurzeln, werden hier die mit  elementarer  Konstruktion   erzeugten  Näherungen (Approximationen)  nicht verbessert. Sie sind beschränkte Näherungen.

 

Anschauliches Beispiel eines konstruierten Berechnen für die Unterschiede  a) und  b)

Die folgende elementar gezeichnete Kalkulation  betrifft den  Höhensatz des Euklid, zu dem einst Euklid von Alexandria (ca. 330 v.u.Z.)  in seinem berühmten Grundlagenwerk ELEMENTE schon im Buch II eine elementare Konstruktion und einen  zum Richtigsein geführten Beweis veröffentlichte. Die hier vorgezeigte  Cohaerentic Kalkulation  ist ein anschauliches  Beispiel  für  den Unterschied zur euklidischen  klassischen Konstruktion samt der euklidischen Beweisführung zum Richtigsein. 

 Die Cohaerentic- Kalkulation geht hier mit dem grossen Rechteck KJLC und der Symmetrie-Diagonale KL  über die von Euklid zu seiner Satzaussage gezeichnete  elementare  Konstruktion mit den Punkten E; B; C; D; G; F und H hinaus und macht damit den oben  angesprochenen  Unterschied b)  zur elementaren Konstruktion anschaulich.

Mit der hier im Bild erfahrbar gemachten  Flächengleichheit von rotem Rechteck und  rotem  Quadrat wird die Kernaussage des Höhensatzes sehr anschaulich und  ohne zusätzliche Hilfsbetrachtungen nachvollziehbarDabei  spielt die gestrichelte Diagonale KL als Symmetrielinie die entscheidende Rolle, um die Richtigkeit der Flächengleicheit von rotem Rechteck und rotem Quadrat   zweifelsfrei erkennen zu können. In der elementaren Konstruktion des Euklid und allen später hierzu in der Fachliteratur  veröffentlichten elementaren Konstruktionen fehlt das Rechteck KJLC mit der Symmetrie-Diagonale KL. Später wird unter der Rubrik "Uraufganen/Kreis/Kreis-Objekte/... zur Problematik  Höhensatz des Euklid  noch mehr ausgeführt werden und   auch noch zur Kreisquadratur, zur allgemeinen Kreisteilung in beliebige ganzzahlig viele Sektoren (Tortensstücke)  und zu  weiteren Urzusammenhängen.

 

Beispiel für ein quasi endlose Cohaerentic-Kalkulation   (Unterschied a))

Auch bei diesem Beispiel kann  aus dem vorgezeigten Rechengang  das gezeichnet berechnete Ergebnis zweifelsfrei gefolgert werden. Es ist die gestreckte Länge des Kreisumfangs. Diese  Art   des Berechnen  nennen wir ein Urberechnen zu einer fundamentalen Uraufgabe. Konkret wird hier ein natürlich konvergierender Berechnungsprozess  (Rechengang) für den Krümmungs-Grenzwert des betrachteten Kreisbogens vorgezeigt. Mit dem Erreichen dieses Grenzwertes wird die  gestreckte  Kreisumfanglinie zur Strecke.     

Bildbeschreibung zur Rektifikation

Es sind immer mehr neue Kreisbogen bei unveränderter (konstanter)  Länge und  halbierter Krümmung gezeichnet berechnet und dargestellt. Gedanklich kann dieser endlose Prozess immer weiter fortgesetzt werden.  Real wird jedoch immer nach endlich vielen Schritten abgebrochen, sobald   das Endekriteruim praktisch erfüllt ist und keine  Bogenkrümmung mehr erkannt werden kann. Später wird noch demonstriert werden, wie durch besondere Massnahmen die Konvergenz dieses gezeichneten  Grenzprozesses  deutlich verbessert werden kann. Schon nach wenigen Schritten wird dann eine befriedigend genaue  Ergebnis-Darstellung  erreicht. 

Lesenden  werden hier  fragen, welchen Schaden gibt es, was an Verständnis zum Berechnen  geht verloren,  wenn der geforderte Ausschluss   endloser  Berechnungsprozesse nicht befolgt  wird? Ich behaupte, es geht nichts verloren, im Gegenteil, es werden viele gezeichnete exakte  Berechnungen so erst möglich und damit auch ein Mehr an zweifelsfreiem Verstehen zum  Berechnen.  Für Cohaerentic-Kalkulationen sind deshalb alle elementar zeichenbaren Berechnungsprozesse zugelassen, deren  gezeichneten Rechengänge   bis zum letzten Schritt     anschaulich  sinnfällig   Nachvollzogen werden können.  

Endlose  Multisummen 

Auch das nächste   Bildbeispiel unterstützt den Zugang zum  Wissensgebiet der Cohaerentic- Kalkulationen. Vorgezeigt wird ein  bildliches  Kohärenzsystem zu Grenzwerten, die endlose   Multisummen sind.   Die Aufgabe des Berechnens lautet  hier: Ein Summe-Quadrat soll erzeugt werden aus zwei Grenzwerten   endloser Multisummen aus Rechtecken und Quadraten. 

Bildbeschreibung zu  Multisummen aus Grenzprozessen

Die Lösungszeichnung  zeigt eine bestimmte Ordnung beim Platzierens der Rechtecke und Quadrate.  Die Rechteckflächen sind  die Summe zweier kleineren gleichgrossen Quadrate. Insgesamt weist das grosse Quadrat  eine unsymmetrische ungleiche, aber dennoch systematische  Aufteilung auf. Dieses Wissen zur ungleichen Aufteilung werden wir später für ein anschaulich sinnfällg  gezeichnetes exaktes Berechnen der Winkeldreiteilung nutzen, das heute als unmögliche Aktion einer elementaren Konstruktion gelehrt wird. Das später unter der Überschrift "Winkeldreiteilung" vorgezeigte, mit einer Cohaerentic-Kalkulation erzeugte  Winkeldrittel- Ergebnis   ist dabei nicht überraschend herbei gezaubert und auch nicht durch probierendes Annähern erzeugt. Es wird stringent, Schritt um Schritt exakt herbei gerechnet und zwar anschaulich sinnfällig nachvollziehbar.   

Lernende können anhand  gezeichneterursprünglicher Cohaerentic-Kalkulationen, noch  ohne Zahlen,  das Phänomen und Wesen des an Schritte gebundenen "Berechnens" entdecken,  und besser verstehen.  Dabei helfen  konkrete  natürliche Objekte, die sich mit  alltäglicher Erfahrung decken, wie Grenzlinien ohne Breite und natürliche Rechengrössen wie  Drehung (Winkel), räumlicher Abstand, Fläche usw. Auch die Urrechenoperationen  Doppeln  und Halbieren mit beliebigen Duplikatoren spielen hierbei eine dominierende Rolle.   Mit dem  elementaren Vorgehen zeigt sich, exakte Rechenprozesse gibt es nicht nur mit Zahlen, sondern primär  mit  realen  Rechengrössen in natürlichen bildlichen Kohärenzsystemen. Höhere Rechenarten  werden dabei auf niedere, die Grundrechenarten und auf quadratische, mit   Kreis und  Gerade zeichenbare  Rechenzusammenhänge rückgeführt. 

Grenzwert, Stetigkeit und Konvergenz 

Mit Cohaerentic-Kalkulationen  kommen für die mathematischen Begriffe "Grenzwert, Stetigkeit und Konvergenz",  neue Bezüge hinzu,  insbesondere solche mit natürlichen Sachverhalten.  So wird entdeckt: Fundamentale Konstanten  sind zuerst Ergebnisse  gedanklicher und dann  gezeichneter Grenzwert-Prozesse im natürlichen Erfahrungsraum und dann erst  Zahl-Abbild für einen gezeichnet berechneten Grenzwert. Der gezeichnete Grenzwert "Kreisverhältnis π = Kreisumfang / Durchmesser"  ist somit zutreffender und damit fundamentaler als sein numerisches Abbild die Kreiszahl πZahl.  

Worauf ist für die Grundlagen des Berechnens  zuerst zu schauen? Sind es Zahlen als Rechengrössen   oder sind es  die mit den  Urkurven Kreis und Gerade gezeichneten geometrisch ausgeprägten Rechengrössen in elementar gezeichneten  Kohärenzssystemen?  Welche  der beiden angesprochenen Arten des Berechnens ist ursprünglicher und mit seiner    Kohärenzgrundlage  besser verständlich? 

Der Sachverhalt, dass mit Cohaerentic Kalkulationen die fundamentale Konstante π  als natürlicher Grenzwert entdeckt werden konnte, spricht für Folgendes: Für die Einsichten zu den Grundlagen des Berechnens  ist den nur mit Kreis und Gerade gezeichneten Berechnungen  ein Vorrang gegenüber solchen mit  Zahlen einzuräumen, für die es keine direkten Bezüge zum Erfahrungsraum gibt.

Verbesserte Effizienz

Für die Cohaerentic-Kalkulationen werden   Massnahmen angestrebt und erfunden, welche die gezeichneten konvergenten endlosen Rechengänge auf einen real ausführbaren Umfang an Schritten abkürzen. Es soll mit weniger Schritten zu einem für alle Anforderungen der Praxis ausreichend  genau dargestelltem Ergebnis   gelangt werden.  Damit werden Uraufgaben auf  elementarer, anschaulich verständlicher  Ebene  exakt  und zugleich effizient berechenbar. Solche erfundene, den Umfang an Schritten verkürzende Massnahmen  wurden schon für  die   Kreisfläche, den Kreisumfang, die Winkelteilung,  die Winkelerzeugung, das Duplizieren mit beliebigen Duplikatoren und auch  für Potenzkurven gefunden. 

Wenn die Cohaerentic- Kalkulationendie Eigenschaft "konvergent" aufweisen,   streben sie mit wachsendem Sequenzumfang (Anzahl der Schritte) stringent und ohne probierende Schritte immer mehr einem gedanklichen  Ergebnispunkt  zu, beispielsweise auch einem Punkt für ein gesuchtes Winkeldrittel.  Der Abstand eines solchen Punktes zu einem ursprünglich gegebenem Punkt (Nullpunkt)  ist dann Grenzwert oder Limes für eine endlose  Sequenz.  Nicht betrachtet werden hier gezeichnete divergente Berechnungsprozesse.  

Insgesamt leisten die elementar gezeichneten Cohaerentic-Kalkulationen  mit ihren "anschaulich verständlichen Rechengängen" etwas, was viele ebenfalls nur mit Kreis und Gerade (Beschränkung auf Zirkel und stirchloses Lineal) gezeichnete  elementaren Konstruktionen nicht leisten.  Dieses fehlende "Etwas"  gibt es   schon  bei den elementaren  Konstruktionen im  berühmten Grundlagenwerk des Geometers Euklid (ca 330 v.u.Z.), so auch zum Höhen und Katheten-Satz, ubd den Satz des Pythagoras usw. Dazu werden später noch ausführliche Betrachtungen geführt.

  • Benutzer 50
  • Beiträge 109
  • Beitragsaufrufe 429793

Aktuell sind 53 Gäste und keine Mitglieder online