Sehnen- / Sekanten- Produkte und Quotienten im und am Kreis

 

 

Beweis zu Paaren gleichgrosser Produkte  und Quotienten mittels Ähnlichkeit von Dreiecken

Ähnlichkeit der Dreiecke GDF und GBH sowie CFD und CBH

Im elementar gezeichneten Kohärenzsystem ergibt sich  die paarweise Grössengleichheit der  Produkte und  Quotienten  durch die Ähnlichkeit der Dreiecke  GDF und GBH sowie der Dreiecke CFD und CBH.  Daraus folgen:

                         Gleiche Quotienten                                      Gleiche Produkte  

 CD / CB = CF / CH           CD / CF =  CB / CH                 CD * CH = CB * CF

 GH / GB = BD / GF          GH / BD  = GB / GF                  GH * GF = GB * BD  aa

 

JF/ JB  =  JH / JD            JF / JH  =  JB / JD                      J F * JD  = JH * JB 

Die angesprochene Ähnlichkeit der Dreiecke beweisen der kleine Kreisbogen von Punkt F und der grosse Kreisbogen  von Punkt D ausgehend, welche die Strecken HD und  die Gerade durch die Punkte C und B schneiden.  Durch diese Schittpunkte wird eine gestrichelte Strecke gezeichnet. Diese verläuft  parallel zur Strecke HB  und beweist  die  Ähnlichkeit der Dreiecke CBH und CFD und damit auch  die  Gleichheit  der Winkel rot und blau  in den Punkten H und D. Aus Gründen der Symmetrie beweist die zweite  gestrichlte, parallel zur Strecke BH verlaufende  Strecke die Ähnlichkeit der Dreiecke GBH und GDF.

 

Sehnensatz: Zwei Sehnen, die sich  im Kreis im Schnittpunkt J schneiden,  bilden  mit ihren beiden Abschnitten rechts und links vom Schnittpunkt jeweils zueinander gleichgrosse Produkte,    |BJ|*|HJ|=|FJ|*|DJ|. 

 

Sekantensatz: Zwei Sekanten, die sich ausserhalb  eines Kreises  im Schnittpunkt C schneiden, bilden   mit ihren Abschnitten zwischen Kreis und Schnittpunkt jeweils zueinander gleichgrosse Produkte,  |BC|*|FC|=|DC|*|HC|. 

 

 

Beweis zu Paaren gleichgrosser Produkte und Quotienten mittels flächengleicher Rechtecke  

Die   roten Rechtecke in beiden gezeichneten Cohaerentic Kalkulationen beweisen direkt anschaulich die  gleichgrossen Produkte der Sehnen- und Sekanten-Abschnitte und damit den Sehnen- und den Sekanten-Satz. Die Einsicht zur Gleichheit ist hier dadurch gegegeben,  dass die rechts und links der  Symmetriegerade ( Diagonale  im grossen Rechteck)  angrenzenden gegenüber liegenden  Flächenpaaare  zueinander immer gleich gross sind. Damit sind auch die beiden rot umrandeten Flächen (Rechtecke) gleich gross, was die Aussagen des Sehnen- und des Sekanten-Satzes  direkt anschaulich beweist.

 

 

 

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