Kreisumfang  als Grenzprozess Multisumme   nach Antiphon und Bryson (5 Jh. v.u.Z.) und Archimedes (3.Jh.vu.Z.)  

 

 

Von Antiphon und Bryson (5.Jh.v.u.Z.) ist nur die Idee, aber kein realer Rechengang  überliefert. Von Archimedes (3.Jhv.u.Z.) sind die Ergebnisse eines konkreten Berechnens  überliefert. Er hat die Kreisfläche bzw. den Halbkreisumfang nach der Idee des Antiphon und Bryson mit zwei   96-Vielecken berechnet. Eines umschliesst den Kreis  und das andere Vieleck wird vom Kreis eingeschlossen. Archimedes reicht die dabei mit 96 Ecken erreichte Genauigkeit aus. Ob er den   für das hier gezeichnete  Berechnen gewählten Berechnungszusammenhnag mit den Halbseiten  auch wählte,  ist  nicht   überliefert. 

Das obere Bild zeigt wie von 60° ausgehend noch 16-fach unterteilt wird. Das untere vergrösserte Bild zeigt die halbe innen liegende blaue  Vieleckseite und die halbe aussen liegende rote Vieleckseite, sowie die dazu ausgemessenen Grössen (schwarz Zahlen) und ihre auf den gesamten  Aussenumfang und Innenumfang hoch gerechneten Grössen

Der Grenzprozess der Multisummation   strebt mit endlos gross werdender  Eckenzahl  der Viertelgrösse bzw. der Achtelgrösse der Kreisfläche und des Kreisumfang als Grenzwert (=Limes) zu. Mit der Notation π/2 wird dieser Grenzwert  für das Verhältnis  "Halbkreisumfang/Durchmesser" symbolisiert bzw.  mit π/4 für das Verhältnis  "Viertelkreisumfang/Durchmesser".  Das Zeichen π  symbolisiert hier ein Verhältnis und keine  Zahl.

 

Kreisumfang  als  Multisumme-Grenzprozess   (Vieleckseiten)

mit verbesserter Konvergenz / Effizienz   [nach Schleicher]

 

 

Beschreibung

Das gezeichnete Berechnen für die den Kreis ausfüllenden Vieleckseiten  beginnt mit   violetten 4-Eckseiten, dann folgen  blaue  8-Eckseiten,   grüne  16-Eckseiten,    rote  64-Eckseiten. Deutlich zu erkennen ist, mit der doppelten Anzahl der Ecken   schrumpft  die Längendifferenz zwischen Eckseite zugehörigem Kreisbogen  überproportional, also auf immer weniger als die Hälfte von vorher.

Mit der roten 64-Eck wird  hier der endlose Berechnungsprozess willkürlich abgebrochen, was nicht   notwendig ist. Mit einem Berechnen  von 4- und  8-Eck  wird ein π2= 3,14  errechnet. Mit einem Berechnen von 4-, 8- und 16-Eck  wird ein π3 = 3,1415 errechnet. Mit einem Berechnen von 8-, 16- und   32-Eck   wird ein    π4=3,141592 berechnet.

Verbesserung der Konvergenz und Effizienz des Berechnens durch verkürzten Grenzprozess

Die Steigerung der Effizienz des Berechnens wird mit einem verkürzten Grenzprozess erreicht. Möglich wird dieser,  indem eine Raumgesetzmässigkeit genutzt wird, die sich im  stetigen  Anwachsen der Multisumme abhängig zur Anzahl der Summanden zeigt.  Da für den nicht verkürzten und auch für den verkürzten Grenzprozess der gezeichnete Rechengang als Rechenplan für alle Schritt bzw. zu zeichnende Objekte bis ins Endlose vollständig bekannt ist, kann bei Bedarf nach noch höherer Ergebnisgenauigkeit endlos  weiter gerechnet werden, zumindest theoretisch. 

 

Vergleich der Genauigkeit und Effizienz für  π - Berechnungen 

Archimedes - Berechnug                    Gezeichnete Cohaerentic-Kalkulation mit  

                                                                      verkürztem Grenzprozess

     Archimedes                                                           Antiphon-Schleicher

 

   -                                                                8-Eck        ->     3,14

   -                                                               16-Eck       ->     3,1415

   -                                                               32-Eck       ->     3,141592

   -                                                               64-Eck       ->     3,14159265

 

96-Eck      -> 3,14

256- Eck   -> 3,1415

 

Der Vergleich zeigt deutlich den Fortschritt durch den verkürzten Grenzprozess der Cohaerentic Kalkulation.

 

 

 

 

 

 

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