Kreisfläche mit  Multisummen - Grenzprozess berechnen

[ nach Antiphon (5 Jh. v.u.Z.) / Schleicher]  

Historisches

Auch wenn es heute nicht ausreichend gewürdigt wird, hat Antiphon der Sophist ( 5 Jh. v.u.Z.)  einen fundamentalen Vorschlag zur Berechnung der Kreisfläche gemacht, der bis heute tragfähig ist und quasi in allen modernen Berechnungen der Kreisfläche mehr oder minder direkt eingegangen ist.  Antiphon schlug vor, die Kreisfläche mit  elementar berechenbaren Dreiecken   auszufüllen und die  Flächen zur Gesamtfläche zu summieren. Das Ausfüllen  gelingt hierbei  immer vollständiger, wenn die Anzahl der kleinen Dreiecke immer weiter erhöht wird, bis quasi   nicht ausgefüllte Flächen nicht mehr erkannt werden können. 

 

 

1. Konstruktionsaufgabe

Die Gesamtfläche als Multisumme mit immer kleineren Dreiecken erzeugen 

Der Grenzprozess der Multisummation  strebt mit endlos gross werdender  Eckenzahl  der Viertelgrösse bzw. der Achtelgrösse der Kreisfläche und des Kreisumfang als Grenzwert zu. Mit der Notation π/2 wird dieser Grenzwert  für das Verhältnis  "Hallbkreisfläche/Quadratfläche über dem Radius" symbolisiert bzw.  mit π/4 für das Verhältnis  "Viertelkreisfläche/Quadratfläche über dem Radius".  Das Zeichen π  symbolisiert hier ein Verhältnis und keine  Zahl.

 

 

 

 

2. Konstruktionsaufgabe

Gesamtfläche als Multisumme mit weniger  Dreiecken bei verbesserter Konvergenz erzeugen   [nach Schleicher]

 

Der Ablauf-Punkt auf der Zeitschiene kann durch Anklicken angehalten werden und  auch vorwärts und rückwärts bewegt werden.  

Beschreibung

Das gezeichnete Berechnen für die den Kreis ausfüllenden Vielecke beginnt mit einem  violetten 4-Eck=Quadrat, dann folgt ein blaues 8-Eck, ein grünes 16-Eck und  ein rotes 32-Eck. Deutlich zu erkennen ist, mit der doppelten Anzahl der Ecken   schrumpft  die nicht  ausgefüllte  Kreisfläche überproportional, also auf immer weniger als die Hälfte von vorher.

Mit dem roten 64-Eck wird  hier der endlose Berechnungsprozess willkürlich abgebrochen, was nicht   notwendig ist. Mit einem Berechnen  mittels  4- und  8-Eck   wird ein π2= 3,14  errechnet. Mit einem Berechnen mittels  4-,8 und 16-Eck wird ein π3= 3,1415 errechnet. Mit einem Berechnen mittels 8- , 16- und   32-Eck   wird ein    π4=3,141592 berechnet. 

Verbesserung der Konvergenz und Effizienz des Berechnens durch verkürzten Grenzprozess

Die Steigerung der Effizienz des Berechnens wird mit einem verkürzten Grenzprozess erreicht. Möglich wird dieser,  indem der stetige Trend des Anwachsens der Multisumme abhängig zur Anzahl der Summanden genutzt wird.  Da für den nicht verkürzten und auch für den verkürzten Grenzprozess der gezeichnete Rechengang als Rechenplan für alle Schritt bzw, zu zeichnende Objekte bis ins Endlose vollständig bekannt ist, kann bei Bedarf nach noch höherer Ergebnisgenauigkeit endlos  weiter gerechnet werden, zumindest theoretisch. 

 

Vergleich der Genauigkeit und Effizienz für  π - Berechnungen 

Archimedes - Berechnug                    Gezeichnete Cohaerentic-Kalkulation mit  

                                                                      verkürztem Grenzprozess

     Archimedes                                                           Antiphon-Schleicher

   -                                                                8-Eck        ->     3,14

   -                                                               16-Eck       ->     3,1415

   -                                                               32-Eck       ->     3,141592

   -                                                               64-Eck       ->     3,14159265

96-Eck      -> 3,14

256- Eck   -> 3,1415

Der Vergleich zeigt deutlich den Fortschritt durch den verbesserten  Grenzprozess  bei der Cohaerentic Kalkulation.

 

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