Uraufgaben für gezeichnete Urberechnungen

 betreffen

  1. Strecken-Verhältnisse  in   gleichgrosse Verhältnisse von   Winkeln / Drehungen umrechnen und umgekehrt 
  2. das Kreisverhältnis  π = Halbkreisumfang / Radius als Strecke
  3. die gestreckte Länge  beliebiger Kreisbogen
  4. die Flächengrösse vom beliebigen  Kreissegmenten bis zum ganzen Kreis 
  5. das Teilen und Vervielfachen von Kreisbogen und Drehung 
  6.  anschaulichen Flächenerhalt vom  Dreieck zum  Rechteck und umgekehrt
  7.  anschaulichen Flächenerhalt vom Rechteck zum Quadrat und umgekehrt
  8.  anschaulichen Flächenerhalt vom Quadrat zum  Kreis und umgekehrt
  9.  kohärente    Kreis- und verwandte Hyperbel-Kurvenpunkte
  10. Kohärenzen der kontinuierlichen Duplikationen    
  11. Kohärenzen der Potenzen ganzzahliger Exponenten

 

Urberechnung zu a.

Umrechnen  eines beliebigen Strecken-Verhältnisses in ein gleichgrosses  Winkel-/ Drehungen- Verhältnis und umgekehrt 

-siehe Einführung-

 

Urberechnung zu b.

Kreisverhältnis  π = Halbkreisumfang / Radius

Die zugrunde liegende Kohärenzidee ist hier Abrollen. Für die  Konvergenzbeschleunigung wird mit einem K r e i s  gearbeitet,  dessen Punkte  durch Abrollen von Vielecken erzeugt werden.   (Archimedes (287-212 v-u-Z.) - Kepler(1571-1630) - Schleicher)

4 Users drschl Documents buch-2015 lyx CLS-Bildmodelle Pi-Berechnung Kreisumfang Siggi-Pi-Idee

 

 

 

Urberechnung zu c.

Gestreckte Länge  beliebiger Kreisbogen

 

 

Urberechnung zu d.

Urberechnung zu e.

Urberechnung zu f.

Urberechnung zu g.

Urberechnung zu h.

Urberechnung zu i.

Urberechnung zu j.

Urberechnung zu k.

Urberechnung zu l.

Urberechnung zu c.

Beispiel 1:  Berechnungsidee von Antiphon (5 Jh. v.u.Z.): 

 

Kreisfläche  als Multisumme von Dreiecken  

 

π = Kreisfläche / (Quadratfläche über dem Radius)

 

Seit Antiphon dem Sophisten (5 Jh. v.u.Z.) ist bekannt, dass es bei einem Berechnen der Kreisfläche mit einem  Aufsummieren   kleiner, den Kreis ausfüllenden  Dreiecke, wie es das folgende Bild zeigt,  theoretisch kein Ende gibt.  Das Aufsummieren endet hier bereits mit nur 32 Dreiecken für den Viertelkreis.  Es werden mit 0,785 bereits 3 wahre Nachkommastellen für π/4 erreicht. 

 

Antiphon-Kreisfl-02

 

Hier stellt sich die Frage, wie kann die Effizienz des Berechnens gesteigert werden, damit mit nur   32 berechneten Dreiecken noch mehr wahre Nachkommastellen  erzeugt und dargestellt werden? Eine Effizienzsteigerung ist, wie nachfolgend gezeigt wird, möglich.

 

 .

 

Beispiel 2:  Berechnungsidee von Antiphon (5 Jh. v.u.Z.) Schleicher

 

Kreisfläche  als Multisumme von Dreiecken mit gesteigerter   Effizienz

 

π = Kreisfläche / (Quadratfläche über dem Radius)

 

Erreicht wird die Steigerung der Effizienz des Berechnens indem der Trend des Anwachsens der Multisumme abhängig zur Anzahl der Summedreiecke  berücksichtigt wird. Die nacheinander berechneten  "Summe-Punkte" bei den Rechtecken rechts oben  bestimmen hier den Verlauf einer Kokärenzkurve, deren Verlaufstrend  sich nach dem letzten berechneten Summe-Punkt fortsetzt und die Kurve schliesslich die Grenzwertkurve für die Kreisfläche schneidet. Dies zeigen   die beiden nachfolgenden Videos, die zum Vollbild vergrössert werden können. Mit der Maus kann  der Laufpunkt auf der Zeitschiene  angehalten, vorgesetzt   und auch  rückgesetzt werden.

 

 

 

 

Das zweite Video zeigt anschaulich, wie  nacheinander  mit den Kohärenzkurven= Konvergenzkurven, Gerade und dann Kreise, gearbeitet wird.  Die Kurve verläuft   durch die berechneten rechten oberen   Eckpunkte der  Summe-Rechtecke aus Dreiecken.  Deren  Flächensumme   ist  jeweils gleich gross zu regulären Viel-Ecken im Kreis,  beginnend mit 4, dann 8  , dann 16 und hier   mit 32 Ecken endend. Deutlich zu erkennen ist, mit der anwachsenden   Anzahl der Ecken   wächst   die letzte ausfüllende Rechteckfläche an. Das zuerst berechnete rötliche  Quadrat   ist kleiner als das danach berechnete grüne Rechteck, dieses wiederum kleiner als das rote Rechteck und jenes wiederum kleiner als das hier letzte blaue Rechteck vor der Grenzwert-Geraden, welche hier von der  jeweiligen Konvergenz-Kurve  im jeweiligen Ergebnispunkt geschnitten wird.  Mit dem blauen Rechteck wird  der endlose Berechnugsprozess hier willkürlich beendet, was nicht zwingend notwendig ist. Mit einem Berechnen bis zum 2-ten grünen Rechteck wird eine Genauigkeit für die berechnete Zahl des Kreisverhältnisses π2  von 2 wahren Nachkommastellen errreicht. Mit einem Berechnen bis zum 3-ten roten Rechteck wird eine Genauigkeit für die berechnete Zahl des Kreisverhältnisses π3von 4 wahren Nachkommastellen errreicht. Mit einem Berechnen bis zum 4-ten blauen Rechteck wird eine Genauigkeit für die berechnete Zahl des Kreisverhältnisses π4  von 6 wahren Nachkommastellen errreicht. 

 

Die  eingeführte Kohärenzkurve modelliert  den   Verlaufstrend  des oberen rechten  Eckpunktes vom Summe-Rechteck  abhängig zum Argument der Anzahl der aufsummierten Dreiecke.  Das erste Rechteck (= rötliches Quadrat)   besteht aus  2 und das n-t e Rechteck aus 2n aufsummierten  Dreiecken. 

 

Der nachfolgende Effizienz-Vergleich zeigt deutlich, was   die Cohaerentic Kalkulationen nach Antiphon-Schleicher mit der Massnahme zur Effizienzsteigerung  leisten.

 

Effizienz-Vergleich für  π - Berechnungen 

Archimedes Antiphon-Schleicher          
   8-Eck ->     3,14  
   16-Eck->     3,1415      
   32-Eck->     3,141592  
   64-Eck->     3,14159265  
 96-Eck -> 3,14    
   
 256- Eck-> 3,1415    

  

Beispiel 3:  Berechnungsidee von Antiphon-Bryson  (5 Jh. v.u.Z.) - Archimedes (287-212 v.u.Z.)

 

π aus  innerer und äusserer 96-Eckfläche 

 

π=Kreisfläche/(Quadratfläche über dem Radius)

 

Archimedes nutzt das Wissen von Antiphon und Bryson und geht von einer inneren (Antiphon) und einer äusseren (Bryson) 96-Vieleckfläche aus. Er erkennt, die wahre Größe der Kreisfläche liegt immer zwischen der Grösse der inneren und der aussen umschliessenden  Vieleckfläche. Archimedes reicht die Genauigkeit vom 96-Vieleck aus. Dabei spielte sicherlich eine Rolle, dass das Berechnen zu seiner Zeit  noch viel mehr Mühen bereitete als heute mit der modernen Zahlendarstellung.

 

Von Archimedes ist kein anschaulich plausibles klassisch gezeichnetes Berechnen  des Kreisverhältnisses π bzw. der Kreisfläche überliefert. Archimedes arbeitete offenbar mit einem arithmetischen Berechnen. Unkommentiert bleibt von Archimedes, wo der wahre Wert vom Verhältnis  π liegt, näher bei 3+10/71 oder näher bei 3+10/71? 

 

Beispiel 4:  Berechnungsidee von  Archimedes (287-212 v.u.Z.) -Kepler (1571-1630)Schleicher

 

-siehe oben!

 

Beispiel 5:  Berechnungsidee von  Fontana (1783.) - Schleicher

 

Kreisumfang durch Rektifikation

 

(Fontana(1783) -Schleicher)

 

π=Kreisumfang/Durchmesser

 

 

Bei der Fontana-Schleicher- Berechnung   ist  gegenüber der Antiphon-Schleicher- Berechnung die Konvergenzkurve stärker gekrümmt,  bzw. der Konvergenzkreis hat einen kleineren, sich stärker ändernden  Radius. Dadurch  wkönnen bei etwa gleichen Rechenaufwand  weniger wahre Nachkommastellen berechnet werden.

 

Der nachfolgende Effizienz-Vergleich zeigt deutlich, was   die Cohaerentic Kalkulationen  mit    Kohärenzkurven leisten.

 

Effizienz-Vergleich für  π - Berechnungen 

 

Archimedes Antiphon-Schleicher         Fontana-Schleicher
   8-Eck ->     3,14  
   16-Eck->     3,1415      
   32-Eck->     3,141592  
   64-Eck->     3,14159265  
 96-Eck -> 3,14    
     128-Eck->     3,14159
 256- Eck-> 3,1415    

  

 

π mit Eulerscher Identität berechnen 

 

(F.Lindemann 1882 )

 

F. Lindemann beweist mit seinem berühmten Beweis zur Transzendenz der Zahl π,  eine klassisch gezeichnete  π-Konstruktion, welche die  Eulerschen Identität zur Kohärenzgrundlage nimmt und eine  gezeichnete Strecke mit der Grösse einer rationalen  Bruchzahl (π/4) als Zwischenlösung anstrebt, ist nicht möglich.  

 

Die Einsicht, dass es hier keine endgültige Bruchzahl mit endlichen Grössen für Zähler und Nennerzahl geben kann, ist aber schon seit Antiphon (5. Jh.v.u.Z.) für alle bekannt, die sich ernsthaft mit der Berechnung der Kreisfläche befassen. Antiphon erkennt, dass das Ausfüllen der Kreisscheibe mit immer kleineren Dreiecken theoretisch möglich ist und auf einen endlosen Berechnungsprozess hinaus läuft. Die Konsequenz dieser Einsicht ist, dass erst mit anwachsenden Berechnungsumfang immer kleinere Dreiecke erzeugt und erst damit immer genauere Ergebnisse und ihre Darstellungen berechnet werden können.  

 

  

 

Verhältnisse-Transformationen gezeichnet berechnen    

 

Drehung -> Strecke bei Verhältnisse-Erhalt (Schleicher)

 

(Winkelmessung ohne Winkelmesser)

 

 

Mit dieser Cohaerentic Kalkulation wird anschaulich plausibel ein Drehungen-Verhältnis rot-grün in ein gleichgrosses Stecken-Verhältnis rot-grün berechnent. Die Summe der beiden Strecken rot und grün hat zunächst die Grösse  des Radius  und wird dann aber   auf den 0,9-fachen Radius umgerechnet. Damit wird ein direkter Zahlenvergleich mit den gemessenen Winkeln rot und grün, deren Summe 90° beträgt, möglich. Für den Vergleich sind die  gemessenen Streckengrössen rot und grün mit dem Faktor 100 zu multiplizieren. Mit dem im Video gezeigten  noch geringem Umfang an Schritten, werden bereit 3 übereinstimmende Nachkommaziffern    errechnet. Zu diesem Erfolg  trägt  besonders gesammeltes Wissen zu Symmetrie-Kohärenzen im Erfahrungsraum bei.

 

Strecke -> Drehung bei Verhältnisse-Erhalt  (Schleicher)

 

Zahl -> Winkel    (Schleicher)

 

- siehe Buch Cohaerentic, hier noch Baustelle -  

 

Längen-Transformationen elementar konstruieren

Kreisbogen -> Strecken bei Längen-Erhalt  (Schleicher)

 

Siehe   Beispiel 5:  Kreisumfang durch Rektifikation  

 

 

 

Strecken -> Kreisbogen bei Längen-Erhalt  (Schleicher)

 

 

 

Flächen-Transformationen elementar konstruieren

 

 

Flächen-Erhalt Dreieck<->Rechteck<->Quadrat<->Vieleck<->Kreis

 

Doppelt-/halbgrosse Flächen

 

Volumen-Erhalt Prisma<->Prisma<->Würfel

 

Doppelt-/halbgrosse Würfel

 

.

 

 

 

 

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